J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Centrale Mathématiques 2 MP 2005

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Topologie/EVNAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre généraleAlgèbre linéairePolynômes et fractions
Logo centrale
🔗 Explorer
Banque
Centrale
Année
2005
Filière
MP
Matière
Maths
Centrale MPCentrale 2005MP MathsMaths 2005
2025_08_29_1bf38dfa107f28a3afe2g

MATHÉMATIQUES II

Notations : on désigne par le corps des nombres réels ou des complexes . Lorsque et est le module de et . Pour les entiers et , on note:
  • le -espace vectoriel des vecteurs avec pour .
  • les matrices à lignes et colonnes à coefficients dans ; et .
    On identifie et donc, en calcul matriciel un vecteur s'identifie avec la matrice colonne ayant les mêmes éléments. Pour , on note lorsqu'on veut préciser les éléments de ; quand le contexte est clair, on écrit simplement ou . Pour , est la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont ceux de . Pour désigne le spectre de , c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres de et . Pour est la transposée de ; et pour (c'est-à-dire ). désigne le sousensemble des matrice symétriques de . Pour et sont respectivement les sous-ensembles des matrices symétriques positives et définies positives de . On rappelle qu'une matrice symétrique est positive (resp. définie positive) lorsque la forme quadratique qu'elle définit ne prend que des valeurs positives (resp. strictement positives) sur .

Partie I -

I.A - Dans cette partie, on munit de la norme ( ) soit .
On définit l'application .
I.A.1) Montrer que est une norme sur .
I.A.2)
a) Montrer que .

Filière MP

b) Montrer l'égalité
c) Montrer que .
I.A.3) Montrer que est une norme matricielle c'est-à-dire qu'elle vérifie : et .
I.A.4) Soit une matrice inversible. On définit
a) Vérifier que est une norme matricielle sur .
b) Montrer qu'il existe une constante telle que

I.B -

Soit une matrice triangulaire supérieure et donné.
Montrer que l'on peut choisir une matrice diagonale avec où est un réel strictement positif telle que :
Étant donnés et , montrer qu'il existe une norme matricielle telle que
I.C - En déduire l'équivalence .

Partie II -

Soit fixée ; pour on pose : .
On définit les sous-ensembles du plan complexe :
On désigne par le cercle bordant le disque .

II.A -

II.A.1) Soit
Représenter dans le plan complexe et .
II.A.2) On se propose de montrer l'inclusion .
a) Soit telle que le système linéaire a une solution non nulle.
Montrer que
b) Soient et . Utiliser II.A.2-a) et montrer que .
c) Conclure en justifiant l'inclusion .
II.A.3) On suppose que a une valeur propre sur le bord de et soit un vecteur propre associé à .
a) Montrer que si pour on a , alors .
b) On suppose de plus que . Montrer que .
  1. Un point appartient au bord de si et seulement si et .
    II.A.4) Soit . On note lorsque et pour . Soient et matrice diagonale avec . Déterminer .
    II.A.5)
    a) Déduire de II.A.2) et II.A.4) l'inégalité
b) Soit la matrice
i) Montrer que le majorant de donné par II.A.5)-a est supérieur ou égal à .
ii) Donner une valeur approchée de (on pourra utiliser la calculatrice).

II.B - Applications

II.B.1) Soit telle que
On dit que est strictement diagonale dominante (SDD).
a) Montrer que si est SDD alors est inversible.
b) Si est SDD et si de plus est réel et strictement négatif, montrer que pour tout .
c) Si est une matrice réelle symétrique et SDD , énoncer une condition suffisante pour qu'elle soit définie, positive.
II.B.2) Soit diagonalisable. Montrer qu'il existe une constante telle que

Partie III -

Cette partie est indépendante de la Partie II, à l'exception de III.B.3.

III.A - Préliminaire

est le - espace vectoriel des polynômes de degré à coefficients complexes. Soit une application de dans :
où les applications sont des fonctions continues de [ 0,1 ] dans .
On note l'ensemble des racines de qui est un sous-ensemble de .
III.A.1) Montrer qu'il existe tel que
III.A.2) Soit fixé et . Montrer que la proposition ( ) suivante est vraie
On pourra raisonner par l'absurde et écrire la proposition (non ).

III.B -

III.B.1) Exhiber une matrice pour laquelle (notation Partie II) ne contient pas de valeurs propres de .
III.B.2) Soit et défini dans II. On se propose de prouver la propriété suivante :
si , le disque contient au moins une valeur propre de .
On suppose donc que, .
On écrit où est diagonale et avec pour et .
On définit l'application : .
a) Montrer que .
b) Soit .
i) Montrer que .
ii) Montrer la propriété .
iii) Soit une suite d'éléments de qui converge vers ; montrer que .
On admettra que les seules parties à la fois ouvertes et fermées dans [ 0,1 ] sont et .
iv) En déduire que . Conclure.
III.B.3) Déduire de la Partie II et de la Partie III des propriétés du spectre de la matrice définie dans la question II.A.1)

Partie IV - (indépendante de II et III)

Rappels : sur on définit le produit hermitien et la norme associée ou norme de Frobenius :
Pour et et

IV.A -

IV.A.1) Vérifier que est bien une norme matricielle sur .
Étant donnés et , on définit leur H -produit noté .
IV.A.2)
a) Si et , et si et sont des matrices diagonales, établir les égalités :
Donner deux égalités semblables pour .
b) Soient et , et , établir l'égalité :
c) Si et montrer que
On pourra introduire la matrice colonne , utiliser les questions a) et b) en remarquant que
d) En déduire que .
IV.B - Dans la suite on suppose , toutes les matrices sont à coefficients réels.
IV.B.1) Soit , montrer qu'il existe telle que .
Que peut-on dire de si ?
IV.B.2) Soient et , montrer que . Que peut-on dire si et ?
IV.B.3) On se propose d'obtenir un encadrement des valeurs propres de quand et .
a) On désigne par (resp. ) la plus petite valeur propre de (resp. ) et par (resp. ) la plus grande.
Montrer que les matrices et .
b) Soit une valeur propre de et un vecteur propre pour cette valeur propre . Évaluer et en déduire
c) Montrer que et en déduire la minoration
d) Établir de même la majoration
Centrale Mathématiques 2 MP 2005 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa