Centrale Mathématiques 2 MP 2003

Dans tout le texte, désigne un intervalle de contenant au moins deux points et est un entier strictement positif. On note l'ensemble des matrices à coefficients réels et on désigne par l'ensemble des applications de classe de dans . Si désigne la dérivée de . Parmi les éléments de , on s'intéresse en particulier à ceux qui vérifient l'une ou l'autre des propriétés qui suivent :

On adopte les notations suivantes : désigne la matrice identité d'ordre , l'espace vectoriel des vecteurs-colonnes à lignes, le groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre et le sous-groupe des matrices orthogonales réelles d'ordre et de déterminant +1 ; si , on désigne par le coefficient de en position lorsque et . Enfin, on dit d'une matrice triangulaire de qu'elle est stricte si elle a les coefficients diagonaux tous nuls et d'une matrice de qu'elle est scalaire si elle est proportionnelle à l'identité ( , avec ).
Enfin, on rappelle que, si est élément de , l'application de dans définie par

est un élément de dont la dérivée est

I.A.1) Montrer que tout élément de vérifiant ( ) vérifie ( ).

I.A.2) Démontrer que si est une application élément de , alors pour tout , l'application est élément de ; calculer sa dérivée.
I.A.3) Démontrer que si est une application élément de , telle que pour tout la matrice est inversible, alors l'application est élément de ; calculer sa dérivée.
I.B - Dans la suite de la Partie I, on prend .

Un élément de s'écrit pour :

I.B.1) On suppose dans cette question que vérifie (P2) et que la fonction ne s'annule pas. Que dire des fonctions

Montrer, en l'explicitant, qu'il existe une matrice telle que, pour tout . Montrer que l'application vérifie aussi ( ).
I.B.2) Soit une matrice non scalaire dans . Montrer qu'il existe tel que ( ) soit une base de . On suppose ainsi choisi. Si , il existe donc tel que .
Montrer que, si la matrice commute avec , elle s'écrit .
I.B.3) On suppose dans cette question que vérifie (P2) et que n'est scalaire pour aucun de .
Montrer qu'il existe un unique couple ( ) d'applications continues de dans tel que pour tout . Pour donné, on pose alors pour tout . Montrer que vérifie une équation différentielle matricielle très simple, dans laquelle intervient la fonction et la résoudre en la ramenant par exemple à des équations différentielles ordinaires. En conclure que vérifie ( ).
I.B.4) Dans cette question, on s'intéresse à .
a) Montrer que ( ) est vérifiée lorsqu'on choisit pour et les fonctions qui à réel associent respectivement et .
b) Déterminer soigneusement les éléments de de la forme

Pour chaque élément de ainsi trouvé,

I.C.2) À quelle condition, portant sur la fonction vérifie-t-elle (P2) ?

On dit d'une application de dans qu'elle est de type ( ) (abréviation pour quasi-polynomial) si elle est de la forme

où sont donnés

On dira qu'une telle application est polynomiale si, de plus, les applications et sont toutes constantes, égales à .

On admettra alors le théorème suivant, qui est une version du théorème de Cauchy-Lipschitz :
a) Si est de type ( ), et si , il existe une unique solution maximale de l'équation différentielle matricielle , définie sur un intervalle tel que vérifiant de plus .
b) Si, en outre, est un sous-espace vectoriel de , si et si , alors pour tout .
L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans les questions qui suivent, les hypothèses faites entraînent que les fonctions matricielles solutions d'éventuelles équations différentielles sont définies sur I tout entier et que, partant, le point de vue de la maximalité de ces solutions est accessoire.

II.A - Soit une équation différentielle matricielle polynomiale de la forme ( ) :

Déduire du théorème le résultat suivant : si une solution sur de ( ) est telle que, pour une valeur est une matrice antisymétrique, alors est antisymétrique pour tout . Donner un énoncé plus général concernant une forme analogue d'équation différentielle matricielle, mais de type ( ), pour laquelle le résultat ( ) soit conservé.
II.B - Soit une équation différentielle matricielle polynomiale, de la forme

Soit une solution sur et tel que le polynôme caractéristique de soit scindé. On choisit alors et triangulaire supérieure telles que .
II.B.1) Former une équation différentielle matricielle polynomiale vérifiée par permettant de montrer que est triangulaire supérieure pour tout .
II.B.2) On suppose en outre que est triangulaire stricte. En considérant les fonctions à valeurs réelles avec , donner une condition nécessaire et suffisante sur la fonction pour que soit triangulaire stricte pour tout .
II.B.3) Cette condition étant supposée remplie, on choisit tel que ; former une équation différentielle matricielle de type ( ) vérifiée par permettant de montrer que l'application est nulle.

II.C.1) Soit solution sur de l'équation différentielle matricielle

On suppose qu'il existe tel que commute avec toutes les matrices et pour tout . Montrer que commute avec pour tout .
II.C.2) Soit une solution sur d'une équation différentielle matricielle polynomiale. Vérifie-t-elle , vérifie-t-elle (P2)? Montrer que est inférieure ou égale à .
II.D - Soit un sous-espace vectoriel de tel que . En introduisant une équation différentielle matricielle bien choisie, montrer que .

III.A - On s'intéresse à une équation différentielle matricielle de la forme ( ) : , où désigne une fonction donnée, de classe de dans .
III.A.1) Si est une solution sur de ( ) telle que (matrice d'une symétrie) pour un certain , que peut-on dire de la fonction ?
III.A.2) Soit . On suppose qu'une solution de ( ') sur vérifie pour un . On pose alors pour tout . Former une équation différentielle matricielle de type ( ) vérifiée par et en conclure que pour tout . Si, en outre, est inversible, montrer que l'application est constante.
III.B - Dans toute cette section III.B, on choisit . Soit une matrice élément de à valeurs dans vérifiant (P2) et telle que,

III.B.1)
a) Pour fixé, on pose . Montrer qu'il existe un vecteur unitaire dans euclidien canonique, tel que .
b) On choisit alors et tels que soit une base orthonormale directe de , on pose et .
De quelle forme est la matrice dans de l'endomorphisme de ayant pour matrice dans la base canonique? Calculer alors en fonction des coefficients de cette matrice et en déduire que est une base de .
c) En conclure qu'il existe trois fonctions de dans telles que pour tout . On admettra que ces trois fonctions sont continues.
d) En exprimant la dérivée de en fonction de , montrer que est solution d'une équation différentielle matricielle, notée , de la forme ( ) : on exprimera, à l'aide de certaines des fonctions , la fonction correspondante.
III.B.2) Transformer l'équation ( ) par le changement de matrice inconnue défini par la formule : , en justifiant l'introduction de .
Montrer que est solution sur d'une équation différentielle matricielle polynomiale très simple. Résoudre cette équation et en déduire une expression de pour tout .
III.C - En s'inspirant de III.B.1-d), construire une fonction élément de à valeurs dans vérifiant ( ) mais pas ( ).
III.D - Chercher la solution maximale dans de l'équation différentielle matricielle , définie au voisinage de 0 et telle que

Pour cela, on montrera que les solutions sont nécessairement de la forme

et on cherchera ensuite une équation différentielle vérifiée par , sachant que .