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Centrale Mathématiques 1 TSI 2025

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GéométrieAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesTopologie/EVN
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2025
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Maths
Centrale TSICentrale 2025TSI MathsMaths 2025
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Introduction à l'optimisation convexe

L'optimisation est le domaine des Mathématiques dont le but est d'établir des méthodes pour la recherche de minimum d'une fonction à valeur réelle. Le problème traite de la recherche de minimum pour les fonctions de classe de vers , et plus spécifiquement sous diverses hypothèses de convexité des applications.
Le -espace vectoriel est muni de son produit scalaire usuel . é. et :
Le vecteur nul est noté .
Pour une application on note l'image par d'un vecteur , soit soit . Lorsque est de classe , le vecteur gradient de en est noté ou ; c'est le vecteur :
On dit que atteint en un minimum si pour tout .
On dit alors que admet un minimum.
Le problème comporte 4 parties. Les parties 3 et 4 sont indépendantes entre elles.

Partie A - Généralités

On établit quelques résultats préliminaires ainsi que quelques résultats généraux sur l'optimisation que l'on applique pour interpréter la loi de Descartes de réfraction de la lumière.

I - Préliminaires : propriétés de la norme euclidienne

Dans cette partie désigne un entier naturel non nul.
Q1. Soit et ; montrer que et que .
Q2. Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Q3. En déduire l'inégalité triangulaire : ,
Q4. Montrer que: ,
(On pourra appliquer deux fois l'inégalité triangulaire (1) avec et puis avec et .)

II - Tout minimum est un point critique

Q5. Soit dérivable qui atteint son minimum en , c'est-à-dire tel que pour tout . Soient deux réels tels que . Déterminer les signes des deux taux d'accroissement :
En déduire que .
Q6. Soit une fonction de classe atteignant un minimum en ; montrer que . (On pourra considérer les deux fonctions d'une seule variable réelle et .)
Q7. En considérant la fonction montrer qu'un point critique n'est pas nécessairement un point en lequel atteint un minimum.

III - Fonctions coercives

Une fonction est dite coercive si :
  • est continue, et
  • , c'est à dire si :
Le but de cette partie est de montrer le résultat :
  • Toute fonction coercive admet un minimum.
Soit ; montrons d'abord que est un fermé borné de .
Q8. Montrer que est un ensemble non vide et borné.
Q9. Soit ; notons . Justifier l'existence de tel que :
En déduire que :
Q10. Pour cette valeur de , soit la boule fermée centrée en et de rayon .
Déduire de que pour tout .
En déduire que est incluse dans .
Q11. En déduire que est un ouvert de puis que est un fermé de .
Montrons maintenant que admet un minimum.
Q12. Justifier que restreinte à y admet un minimum, c'est à dire que tel que .
Q13. En déduire que la fonction admet un minimum sur .

IV - Application : loi de réfraction de la lumière de Descartes

Figure 1 - Loi de réfraction de la lumière
Deux milieux d'indice de réfraction de la lumière homogènes sont séparés par un plan orienté. Deux points sont situés de part et d'autre du plan . Selon la loi de réfraction de la lumière de Descartes (voir Figure 1), un rayon lumineux reliant les deux points se déplace de manière rectiligne dans chacun des deux milieux, et en passant par le point du plan vérifiant :
  • est situé dans le plan perpendiculaire à passant par et ,
  • où désignent les angles entre avec une normale au plan .
Nous nous proposons ici de vérifier, en appliquant les résultats établis précédemment, le principe de Fermat selon laquelle ce trajet lumineux de à est celui de plus courte durée.
On rappelle que l'indice de réfraction d'un milieu est défini par :
où et désignent respectivement la vitesse de propagation de la lumière dans le vide et dans le milieu .
Puisque dans un milieu homogène le trajet le plus rapide suit une ligne droite, on supposera que dans chacun des deux milieux le trajet est rectiligne. Soit un point quelconque du plan ; la durée du trajet lumineux est donnée par :
Il s'agit donc de déterminer, s'il existe, le point du plan où le «chemin optique» atteint un minimum.
Soient et les projetés orthogonaux de et sur le plan .
Q14. On suppose dans cette question que ; vérifier que le chemin optique atteint un minimum au point satisfaisant la loi de Descartes.
Figure 2
On supposera désormais . On construit un repère orthonormé ( ) de la façon suivante :
  • l'origine est l'intersection du plan et de la droite ( );
  • le vecteur a même direction que la droite ( );
  • le vecteur est choisi de façon à ce que ( ) soit un repère orthonormé direct de ;
  • le vecteur est obtenu par le produit vectoriel .
Ainsi dans ce repère (cf. Figure 2) les points ont pour coordonnées :
On définit alors :
qui donne le chemin optique en fonction de et dont il s'agit de déterminer le point où un minimum est atteint.
Q15. Justifier que est de classe et calculer ses dérivées partielles.
Q16. Appliquer la question Q4 pour montrer que . En déduire que est coercive.
Q17. Montrer que si ( ) est un minimum de , alors le point est nécessairement sur le segment .
Q18. En déduire que si atteint un minimum en ( ) alors le point satisfait :
On appliquera pour cela l'équation .
Q19. En déduire qu'au chemin optique minimal, le point satisfait la loi de Descartes de réfraction de la lumière.

Partie B - Convexités de fonctions

Dans cette partie on introduit trois notions de convexité plus ou moins fortes pour les applications de dans et on montre l'intérêt que revêtent ces notions pour la recherche de minimum.

I - Fonction convexes; strictement convexes

Soit une fonction de classe .
  • est dite convexe si pour tous vecteurs de
  • est dite strictement convexe si pour tous vecteurs de
Q20. Montrer que si est strictement convexe alors est convexe. Montrer qu'une fonction convexe n'est pas forcément strictement convexe (on pourra considérer une fonction constante).
Puisque est , la surface d'équation admet en tout point ( ) un plan tangent.
Q21. Donner l'équation du plan tangent au point ( ) à la surface d'équation . En déduire une interprétation géométrique de convexe (respectivement de strictement convexe).
Q22. Montrer que si est convexe et est un point critique (i.e ), alors atteint un minimum en . Montrer que si de plus est strictement convexe, alors est l'unique point où atteint un minimum.
Autrement dit, une fonction convexe atteint nécessairement un minimum en un point critique alors que ce n'est forcément le cas pour une fonction quelconque. Pour une fonction strictement convexe, ce point où le minimum est atteint est unique, s'il existe. Soit
Q23. Soit ; dresser le tableau de variation de l'application
Q24. Montrer que est strictement convexe et n'admet aucun minimum.

II - Fonctions fortement convexes

Pour une fonction, être convexe ou strictement convexe n'assure pas de l'existence d'un minimum. Pour cette raison on introduit une notion de convexité plus forte.
Soit une fonction de classe et soit un réel strictement positif.
  • est dite -fortement convexe si pour tous vecteurs de
  • est dite fortement convexe si il existe tel que soit -fortement convexe.
Q25. Montrer que si est fortement convexe alors est strictement convexe.
Q26. Exemple : Montrer que la fonction est fortement convexe ; pour quelles valeurs de est-elle -fortement convexe?
On se propose de montrer que les fonctions fortement convexes sont coercives.
Q27. Montrer que si est -fortement convexe, alors pour tout
(On appliquera pour cela des résultats de la partie I.1.)
Q28. En déduire que si est -fortement convexe, alors est coercive, puis que toute fonction fortement convexe admet un minimum atteint en un unique point , et caractérisé par l'équation .

Partie C - Cas particulier des fonctions quadratiques

Dans cette partie on étudie la cas particulier des fonctions quadratiques, ou polynomiales de degré 2.
On note l'ensemble des matrices carrées ayant deux lignes et deux colonnes et à coefficients réels.
On identifiera les vecteurs de avec la matrice colonne de leurs coordonnées dans la base canonique; par exemple le vecteur sera représenté . Avec cette convention, pour une matrice et un vecteur , la notation est définie par le produit matriciel et l'application est l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est .
Une fonction est dite quadratique s'il existe une matrice symétrique, un vecteur et un réel tel que
En notant , si , alors : .
Q29. Soit polynomiale de degré 2 , avec . Donner la matrice et le vecteur tels que .
Dans la suite de cette partie, désignera la fonction quadratique
avec une matrice symétrique et .
Q30. Établir que est de classe et que pour tout .
On souhaite maintenant établir des conditions pour que soit convexe, strictement convexe, ou fortement convexe.
Q31. Montrer que pour tout et
Q32. Montrer que
Une matrice symétrique est dite :
  • positive si ;
  • strictement positive si .
Q33. Montrer que est :
  • convexe si et seulement si est positive;
  • strictement convexe si et seulement si est strictement positive ;
    -fortement convexe si et seulement si
On caractérise maintenant la convexité de à l'aide du signe des valeurs propres de la matrice .
Q34. Justifier l'existence d'une matrice diagonale et d'une matrice orthogonale tel que .
Q35. Déduire de Q33 et Q34 que est convexe si et seulement si les valeurs propres de sont toutes positives.
Q36. Montrer de même que est strictement convexe si et seulement si toutes les valeurs propres de sont strictement positives si et seulement si est fortement convexe.
Q37. En déduire une condition nécessaire et suffisante portant sur la trace et le déterminant de pour que soit convexe, respectivement strictement convexe, fortement convexe.
Q38. Proposer une méthode n'utilisant que et les solution du système pour déterminer tous les (éventuels) points en lesquels une fonction quadratique atteint son minimum.

Partie D - Recherche approchée de minimum par une méthode de descente de gradient

Comme on l'a vu, une fonction fortement convexe admet un minimum atteint en un unique point et caractérisé par l'équation .
Mais résoudre cette dernière équation n'est pas toujours facile ni même possible. Aussi ont été inventées des méthodes de résolution approchées : elles consistent à construire une suite de points de qui converge vers le point où atteint son minimum, c'est-à-dire telle que . La méthode est d'autant meilleure que la convergence est rapide.
Parmi celles-ci, la méthode de descente de gradient (à pas fixe) construit la suite définie par :
où est un réel strictement positif.
Dans cette méthode, à chaque point , le point suivant est obtenu en se déplaçant d'un pas fixé dans la direction locale de plus grande descente .
Q39. Soit . Notons et soit le réel tel que le point de coordonnées ( ) appartienne au plan tangent à la surface représentative de au point de coordonnées .
Exprimer en fonction de et .
Soit fixé et tel que ; montrer que si alors atteint son minimum pour . C'est ce que veut dire que la direction locale de plus grande descente est .
Afin que la suite définie en (*) converge vers le point où atteint son minimum, le pas de descente doit être choisi correctement et la fonction vérifiera une condition supplémentaire.
On établit dans cette partie le résultat suivant :
Soit une fonction -fortement convexe. Si est -lipschitzienne, c'est-à-dire si :
alors en choisissant tel que , la suite définie par et :
converge vers l'unique point où atteint un minimum, et la convergence est géométrique, c'est-à-dire qu'il existe tel que pour tout :
On se place sous ces hypothèses : on considère dans cette partie une fonction -fortement convexe atteignant un minimum en , telle que est -lipschitzienne, ainsi qu'une suite définie par la relation de récurrence avec .
Q40. Établir que pour tout .
Q41. Montrer que pour toute fonction -fortement convexe :
Q42. Montrer que pour tout .
Q43. En notant , montrer que atteint un minimum en . En déduire que .
Q44. Montrer que si , alors , puis conclure.
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