Centrale Mathématiques 1 TSI 2024

Dans tout ce sujet，on note l＇ensemble des polynômes à coefficients réels et l＇espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré au plus （ entier）．Pour un polynôme de ，on note son polynôme dérivé et le polynôme dérivé d＇ordre de de telle sorte que ， etc．
On pourra confondre un polynôme et sa fonction polynomiale associée．De même，on pourra confondre le polynôme dérivé avec la fonction dérivée de la fonction polynomiale ．
On rappelle également que la partie entière d＇un réel est un entier，noté ，et que celle－ci vérifie la double inégalité ．

On considère la suite de polynômes définie par et par la relation de récurrence ：

Q 1．Justifier que puis donner la forme développée du polynôme ．
Q 2．Donner sans justification le rayon de convergence de la série entière et exprimer sa fonction somme，notée ，à l＇aide des fonctions usuelles．
Pour tout entier naturel non ，on note le rayon de convergence de la série entière et on note
sa fonction somme donnée par ．
Q 3．Justifier que la suite est constante et en déduire la valeur de pour tout entier naturel ．
Q 4．Montrer que，pour tout entier naturel et tout ，on a ．
Q 5．Prouver par récurrence que，pour tout entier naturel et tout ，on a

On considère la suite définie par et la relation de récurrence ：

Q 6．Justifier que et déterminer les entiers et ．
On rappelle qu＇une partition d＇un ensemble E non vide est un ensemble de parties de non vides，deux à deux disjointes et dont la réunion constitue l＇ensemble de départ ．Une partition ordonnée de est un －uplet tel que est une partition de ．
Par exemple，les trois partitions ordonnées de l＇ensemble sont et ．
Par convention，on pose qu＇il existe une seule partition ordonnée de l＇ensemble vide．Pour ，on note le nombre de partitions ordonnées de l＇ensemble ．
Q 7．Déterminer les partitions ordonnées de l＇ensemble ，puis leur nombre．
Q 8．Justifier que pour tout entier ，on a ．En conclure que les suites et sont égales．Pour construire une partition ordonnée，on pourra commencer par choisir le cardinal de la première partie formant cette partition．

Q 9. Rappeler le développement en série entière de la fonction exponentielle avec son domaine de validité et justifier que pour tout entier naturel non nul.
On se propose de prouver par récurrence que, pour tout entier naturel , on a . Pour cela, on note la propriété ci-après qui implique l'encadrement voulu:

Q 10. Justifier que est vraie.
Q 11. On suppose vraie pour un certain entier naturel non nul fixé. Montrer que et en conclure que est vraie.
Le résultat de cette question achève la récurrence et prouve l'encadrement de annoncé.
Q 12. En déduire une minoration du rayon de convergence de la série entière .

Pour , on pose .
On peut montrer que est de classe sur et que ses dérivées successives s'expriment à l'aide des polynômes définis dans la partie Préliminaires sous la forme :

On pourra librement utiliser cette expression admise de valable pour tout entier naturel .
Q 13. Rappeler le lien existant entre les dérivées successives de et les coefficients de la série entière puis prouver que, pour tout entier naturel , on a

Soit une variable aléatoire sur un espace probabilisé ( ) qui suit une loi géométrique de paramètre . Pour tout entier naturel , on note la fonction définie sur par

Q 14. Rappeler quel est l'ensemble des valeurs prises par et rappeler la valeur de pour .
Q 15. Soit un entier naturel non nul. Justifier que est d'espérance finie puis que en citant le nom du théorème utilisé.
Q 16. Soit un réel strictement positif que l'on suppose non entier. Montrer que .
Q 17. Pour non nul, justifier que admet un maximum sur , noté , que l'on explicitera.
Q 18. Soit un entier naturel non nul. Montrer que pour tout réel strictement positif.
Q 19. En déduire la minoration On pourra admettre que n'est pas un nombre rationnel.

On rappelle que la fonction a été définie dans la partie II.C pour tout entier naturel par

et que quelques résultats la concernant, qui peuvent directement être réinvestis, ont déjà été établis dans la question 17.

Q 20. Pour tout entier naturel , justifier que l'intégrale converge et, à l'aide d'une intégration par parties, établir une relation entre et .
Q 21. Montrer que pour tout entier naturel .

Dans toute la suite de cette partie, désigne un entier naturel non nul.
Q 22. Justifier qu'il existe un entier , dépendant de tel que est croissante sur et décroissante sur .
Q 23. Justifier que .
Q 24. Justifier que la série converge puis établir l'encadrement

Q 25. En utilisant la relation (II.1), déduire des encadrements précédents que

Q 26. Justifier que pour tout entier naturel non nul puis en déduire l'équivalent de . On pourra utiliser librement la formule de Stirling qui donne l'équivalent .

Pour un polynôme de , noté parfois également , on note le polynôme obtenu en substituant l'indéterminée de par .
À titre d'exemple, si alors . On pourra admettre que, pour tout polynôme de , les polynômes et ont le même degré et le même coefficient dominant.
Dans toute cette partie, on considère un entier naturel fixé.

On note l'application définie sur par .
Q 27. Montrer que est un endomorphisme de .
Q 28. Montrer que si est une valeur propre de alors (on pourra utiliser un vecteur propre associé à la valeur propre ). En déduire que est injectif.
Q 29. L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
Q 30. Déduire des questions précédentes qu'il existe un unique polynôme de tel que . Dans toute la suite du problème, on note cet unique polynôme.

On rappelle que, par définition, le polynôme vérifie .
Q 31. Justifier que .
Q 32. Justifier que pour tout entier naturel et en déduire que .
Q 33. Montrer que .
Q 34. En utilisant la formule de Taylor pour les polynômes, montrer que

L'endomorphisme est celui défini dans la partie IV.A. Dans toute la suite, pour des polynômes et de , on pose

Q 35. Soit . Justifier qu'il existe tel que .
Q 36. Justifier que pour tout polynôme et tout entier naturel puis montrer que , .
Q 37. Justifier que

pour tout couple d'entiers naturels ( ) puis montrer que la famille ( ) est une base orthonormée de pour ce produit scalaire.
Q 38. En déduire que, pour tout polynôme , on peut écrire

Les entiers définis dans ce problème sont appelés nombres de Fubini ou nombres de Bell ordonnés et apparaissent dans des problèmes de combinatoire. La suite ( ) de polynômes définie à partir de ces nombres vérifie des propriétés communes avec d'autres suites de polynômes (polynômes de Bernoulli, polynômes d'Hermite...) qui sont à l'origine de la notion de suites d'Appell.