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Centrale Mathématiques 1 TSI 2023

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesPolynômes et fractionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementRéduction
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Centrale
Année
2023
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2023TSI MathsMaths 2023
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Ce problème étudie la transformation de Laplace d'une certaine catégorie de fonctions et l'applique à la résolution d'équations et de systèmes différentiels.

Notations

  • On note l'ensemble des fonctions définies sur à valeurs dans et l'ensemble des fonctions définies sur à valeurs complexes.
    On admet que et sont des -espaces vectoriels.
  • Dans toute la suite, on considère l'ensemble des fonctions continues sur à valeurs dans telles que pour tout nombre réel strictement positif, l'intégrale converge. On admet que E est un -espace vectoriel.

Articulation des parties

Le résultat de la partie I est utilisé dans les parties II et III. Certains résultats de la partie II sont utilisés dans la partie IV. Les parties II et III sont indépendantes.

I Question préliminaire

Q 1. Démontrer le théorème d'intégration par parties pour les intégrales généralisées :
Si et sont deux fonctions de classe sur , à valeurs dans telles que existe, alors les intégrales et sont de même nature. En cas de convergence,
où .

II Transformée de Laplace, généralités

II.A -
Q 2. Montrer que, si une fonction appartient à alors, pour tout , l'intégrale converge. On note alors sa valeur .
On définit ainsi une fonction , définie sur et à valeurs dans .
Q 3. Démontrer que l'application
est linéaire.
s'appelle la transformation de Laplace et, pour tout s'appelle la transformée de Laplace de .

II.B - Quelques exemples

Toutes les fonctions considérées sont définies sur .
II.B.1) Pour tout entier naturel , on note la fonction : .
Q 4. Montrer que, pour tout .
On note alors .
Q 5. Pour tout nombre réel strictement positif, calculer .
Q 6. Soit . À l'aide d'une intégration par parties, établir, pour tout réel strictement positif, une relation entre et .
Q 7. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel et tout réel strictement positif,
II.B.2) Pour tout nombre réel positif ou nul et tout nombre réel , on note la fonction .
Q 8. Montrer que et calculer .
Q 9. En déduire que les fonctions et appartiennent à et calculer leurs transformées de Laplace et .

II.B.3)

Q 10. Plus généralement, montrer que toute fonction continue et bornée sur , à valeurs dans , appartient à .
Q 11. Donner un exemple de fonction continue sur n'appartenant pas à .

II.C - Transformées de Laplace d'une dérivée et d'une dérivée seconde

On suppose que est de classe sur , que , que et que pour tout .
Q 12. À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que
On suppose, en plus, que est de classe sur , que et que pour tout .
Q 13. Démontrer que

III Approximation de fonctions de classe sur un segment par des fonctions polynomiales

L'objectif de cette partie est de montrer le résultat suivant :
Si est une fonction de classe sur le segment à valeurs dans , alors il existe une suite de fonctions polynomiales telle que .

III.A - Une famille des fonctions polynomiales

Soit et . On note , où désigne le coefficient binomial parmi .
Q 14. Donner le degré de .
Q 15. Pour tout , calculer .

III.B - Deux résultats généraux

Q 16. Montrer que, si est une variable aléatoire réelle finie sur un espace probabilisé ( ) à valeurs positives, alors . En déduire que, si et sont deux variables aléatoires finies telles que , alors .
Q 17. Question de cours. étant une variable aléatoire réelle finie sur un espace probabilisé ( ), rappeler la définition de sa variance, notée , et démontrer que .
Q 18. En déduire que .
III. - Soit une fonction de classe sur à valeurs réelles. Soit . Soient et une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres ( ). On pose .
Q 19. Rappeler la valeur de l'espérance de ainsi que sa variance.
Q 20. En déduire que et .
Q 21. En citant de manière explicite les théorèmes utilisés, montrer qu'il existe tel que
Q 22. En utilisant les résultats des questions 18, 21 et 16 puis 20 , montrer que
Q 23. En citant le théorème utilisé, en déduire que, pour tout nombre réel ,
Q 24. Justifier que la fonction
admet un maximum et déterminer la valeur de ce maximum.
Q 25. En déduire qu'il existe une suite de fonctions polynomiales telle que la suite converge vers 0 .
On admet que ce résultat, démontré dans le cas où la fonction est de classe sur , est encore valable lorsque la fonction est seulement continue sur . Ce dernier résultat sera utilisé dans la partie IV.

IV Injectivité de la transformation de Laplace et applications

IV.A - On se propose dans cette sous-partie de démontrer que l'application est injective sur , c'est-à-dire que
On considère une fonction de vérifiant .
Pour tout nombre réel , on pose .
Q 26. Justifier que la fonction est dérivable sur et calculer sa dérivée.
Q 27. Montrer que est une fonction bornée.
Q 28. Justifier, pour tout , l'existence de et démontrer que
On note la fonction définie sur
Q 29. Montrer que est continue sur le segment .
Q 30. En effectuant le changement de variables et en citant explicitement le théorème de changement de variable dans une intégrale généralisée, démontrer que
Q 31. Montrer que pour tout et que, pour toute fonction polynomiale,
Q 32. En utilisant le résultat admis à la fin de la partie III, montrer qu'il existe une suite de fonctions polynomiales vérifiant
Q 33. En déduire que .
Q 34. Démontrer que est injective.
IV.B - Le but de cette sous-partie est de résoudre le problème de Cauchy :

IV.B.1) Résolution classique

Q 35. Démontrer qu'il existe une solution particulière de l'équation de la forme , avec .
Q 36. Résoudre alors le problème (IV.1).

IV.B.2) Résolution utilisant la transformation de Laplace

On suppose que est une solution du problème (IV.1) vérifiant en plus les hypothèses de la sous-partie II.C.
Q 37. Démontrer que, pour tout réel strictement positif, .
Q 38. Déterminer deux nombres réels et tels que
Q 39. En déduire une expression de , puis de en utilisant l'injectivité de et les résultats de la sous-partie II.B.
Q 40. Réciproquement, vérifier que la fonction ainsi trouvée est bien solution du problème (IV.1).
IV.C - Le but de cette sous-partie est de déterminer les fonctions et de classe sur solutions du système différentiel
et vérifiant les conditions initiales

IV.C.1) Résolution classique

Soit et, pour tout , de sorte que le système (IV.2) s'écrit matriciellement
Q 41. Montrer qu'il existe une matrice , que l'on déterminera, telle que
Q 42. On pose . Déterminer les fonctions et et en déduire les fonctions et vérifiant le système (IV.2) et les conditions initiales imposées.

IV.C.2) Résolution en utilisant la transformation de Laplace

On suppose que et sont solutions du problème (IV.2), vérifiant en plus les conditions de la sous-partie II.C.
Q 43. Montrer alors que
Q 44. Trouver tels que
Q 45. En déduire une expression de et de .
Q 46. Établir la réciproque et conclure.
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