Centrale Mathématiques 1 TSI 2022

désigne l＇ensemble des matrices carrées d＇ordre à coefficients réels， la matrice identité d＇ordre à coefficients réels et la matrice nulle d＇ordre ．
désigne l＇application identité sur ．
Si est une matrice de ，on définit la suite des puissances de par

Si est une suite de matrices de ，avec ，on dit que la suite converge si chacune des suites et converge．On note alors

On note la fonction exponentielle réelle．

L＇objectif de ce problème est d＇étudier des extensions de cette fonction à différents ensembles et d＇en traiter quelques applications．
Il est demandé aux candidats de mentionner clairement les résultats qu＇ils utilisent pour répondre aux différentes questions du problème．

On se propose de déterminer l＇ensemble des fonctions de classe sur ，à valeurs dans vérifiant les deux conditions suivantes ：

Q 1．Justifier que la fonction est solution de（I．1）．
On se propose de démontrer que c＇est la seule solution．
Pour cela，on suppose que est une fonction de classe sur vérifiant les conditions（I．1）．
Q 2．Pour tout nombre réel ，calculer ．
Q 3．En déduire que ne s＇annule pas sur ，puis que est strictement positive sur ．
Q 4．Démontrer que ．
Q 5．Justifier que

Q 6．En donnant à une valeur bien choisie，démontrer qu＇il existe une constante réelle telle que

Q 7．Déterminer les valeurs de et de et justifier que est solution du problème de Cauchy

Q 8. En déduire que le problème (I.1) a une solution unique que l'on donnera.
Q 9. Donner le développement en série entière en 0 de cette solution et préciser le rayon de convergence de la série entière.
I.B - Un problème de probabilité faisant intervenir l'exponentielle réelle

Q 10. Étudier les variations de la fonction définie sur par et en déduire que

Dans cette sous-partie, et sont deux nombres réels strictement positifs et on pose

Q 11. Justifier que .
On pose .
Un service d'urgences médicales de capacité supposée illimitée reçoit des patients entre l'instant 0 et l'instant inclus. On modélise le nombre de patients arrivés dans le service au cours de l'intervalle de temps [ ] par une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre .
On rappelle que, .
On suppose par ailleurs qu'un patient arrivé dans le service entre les instants 0 et a la probabilité d'être toujours présent dans le service au-delà de l'instant . On fait l'hypothèse que les instants aléatoires de sortie des urgences sont mutuellement indépendants. On note le nombre de patients arrivés entre les instants 0 et qui sont encore présents dans le service au-delà de l'instant .
Q 12. Pour , calculer , probabilité conditionnelle de sachant ( ). On distinguera les cas et .
Q 13. Pour tous entiers et tels que , démontrer que

Q 14. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer, pour tout entier naturel , la probabilité en fonction de et .
Q 15. Reconnaitre la loi de probabilité de et donner la valeur de son espérance .

On rappelle que l'exponentielle est définie sur l'ensemble des nombre imaginaires purs par l'égalité

Dans le plan complexe, on considère la courbe paramétrée formée par l'ensemble des points d'affixe

où décrit l'ensemble . Le point est dit stationnaire si .
Q 16. Pour tout nombre réel , exprimer en fonction de les nombres et .
Q 17. En déduire un intervalle de la forme (avec ) et une transformation géométrique simple permettant d'obtenir la courbe toute entière à partir de sa restriction à l'intervalle .
Q 18. Déterminer trois nombres réels appartenant à l'intervalle [ ] tels que les points , et sont des points stationnaires de .
Q 19. Préciser la nature du triangle formé par ces trois points.
Q 20. Pour tout nombre réel , exprimer en fonction de .
Q 21. En déduire une transformation géométrique laissant globalement invariante la courbe .
Q 22. Dresser le tableau des variations conjointes des fonctions et sur un intervalle bien choisi. On admet que la tangente au point stationnaire est l'axe des abscisses. En déduire les tangentes aux points et , puis tracer la courbe .
Q 23. Calculer la longueur de la courbe .

Dans cette partie, l'espace est muni de son produit scalaire canonique et est orienté par la base canonique .
III. A - On note l'endomorphisme de dont la matrice dans est

Q 24. Démontrer que et sont deux droites vectorielles supplémentaires. Préciser un vecteur directeur de et un vecteur directeur de .
On note le projecteur sur la droite parallèlement à la droite et le projecteur sur la droite parallèlement à la droite .
Q 25. Déterminer la matrice de l'endomorphisme dans la base et la matrice de l'endomorphisme dans cette même base.
Q 26. Justifier les égalités

Q 27. Démontrer que, pour tout entier naturel .
Q 28. Donner les développements en série entière au voisinage de zéro des fonction cosinus et sinus.
Pour tout entier naturel et tout nombre réel , on note la matrice .
Q 29. Pour tout nombre réel , justifier que la suite converge vers la matrice .
Q 30. En déduire que

Q 31. Justifier la notation , valable pour tout nombre réel .
III.B - On note l'endomorphisme de dont la matrice dans est

Q 32. Identifier géométriquement l'endomorphisme .
Q 33. Pour tout entier , exprimer et en fonction de et .
Pour tout entier naturel et tout nombre réel , on note la matrice et on l'écrit sous la forme

Q 34. Démontrer que les quatre suites et convergent.
On pourra considérer les suites extraites et .
On note alors .
Q 35. Identifier géométriquement la matrice et donner ses éléments caractéristiques.

Dans cette partie, on identifie tout élément de avec la matrice colonne associée.
On considère la matrice

Q 36. Déterminer le rang de la matrice et démontrer que les deux vecteurs

forment une base de .
Q 37. Déterminer le rang de la matrice et démontrer que le vecteur

est un vecteur directeur de .
Q 38. Justifier que est une base de .
Q 39. Déterminer une matrice diagonale et une matrice inversible telles que .
Q 40. Résoudre le système différentiel linéaire

où la variable est réelle et .
On pourra poser où .
On rappelle que, pour tout , il existe une unique solution de (IV.1) vérifiant

Q 41. Déterminer une fonction

telle que

On pourrait démontrer, ce qui n'est pas demandé dans le cadre de ce problème, que, pour tout nombre réel , .