Centrale Mathématiques 1 TSI 2016

Ce problème est consacré à l'étude de nombre introduits au XVIII siècle par James Stirling et intervenant en particulier en théorie des probabilités et dans l'étude de la fiabilité de certains circuits électroniques.
Les parties du problème sont très largement indépendantes. Tout candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur sa copie.
On rappelle les conventions et et on note

Si est un ensemble et un entier naturel non nul, une partition de est un ensemble de parties de non vides, deux à deux disjointes, et dont la réunion est égale à :

Par exemple, est une partition de en trois parties. On notera en particulier que l'ordre dans lequel interviennent les parties n'a pas d'incidence sur la définition de la partition.
Pour et , on note le nombre de partitions d'un ensemble à éléments en parties. On pose également et lorsque .
Les nombres sont appelés nombres de Stirling de deuxième espèce.

I.A.1)
a) Déterminer la valeur de .
b) Soit . Que valent et ?
I.A.2) Soit un entier, un entier compris entre 1 et et un ensemble à éléments. On souhaite établir une relation entre et .
a) Dans cette question, on étudie l'exemple et .
i. Expliciter les partitions de en deux parties, dont l'une est le singleton .
ii. Expliciter les partitions de en deux parties, dont l'une contient 4 tout en étant différente du singleton .
iii. Vérifier, pour l'exemple traité, la relation .
b) On revient au cas général présenté en début de question I.A.2.
i. Quel est le nombre de partitions de en parties, dont l'une est ? On exprimera le résultat à l'aide d'un nombre de Stirling.
ii. Quel est le nombre de partitions de en parties, dont l'une contient tout en étant différente du singleton ? On exprimera le résultat à l'aide d'un nombre de Stirling.
iii. En déduire que .
I.A.3) En déduire que, pour tout entier . On pourra par exemple procéder par récurrence.
I.A.4) Montrer que, pour tout entier et en déduire la valeur de pour tout entier .
I.A.5) Soient et deux ensembles et . On note le nombre d'applications surjectives de dans .
a) Que vaut si ?
b) Que vaut si ?
c) Expliciter les applications surjectives de dans lorsque et , et préciser la valeur de .
d) Dans cette question, on souhaite obtenir une relation entre et .

Si est une application de dans et un entier compris entre 1 et , on note l'ensemble des antécédents par de .
i. Étant donnée une application surjective de dans , montrer que est une partition de en parties. On note cette partition.
ii. Étant donnée une partition de en parties, combien y a-t-il d'applications surjectives de dans telles que ?
iii. En déduire la relation .
I.A.6) Montrer, par exemple par récurrence, que, pour tout .

Soit ; on note l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à et la base canonique de . On définit la famille de polynômes par

I.B.1) Montrer que la famille est une base de , que l'on notera .
I.B.2)
a) Pour tout entier , démontrer l'égalité .
b) En déduire par récurrence que, pour tout entier . On pourra utiliser la relation démontrée en I.A.2.
I.B.3) Donner la matrice de passage de la base à la base , en précisant en particulier ses coefficients diagonaux.
I.B.4)
a) Quel est le polynôme caractéristique de la matrice ?
b) Montrer que la matrice n'est pas diagonalisable dans lorsque . Qu'en est-il si ?

Pour et pour les réels pour lesquels cette somme a un sens, on pose .
I.C.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière et en déduire le domaine de définition de la fonction .
I.C.2) Déterminer les valeurs de et .
I.C.3) Soit et . Préciser la valeur de en distinguant les cas (lorsque est non nul) et .
I.C.4) À l'aide de la relation montrée en I.B.2, vérifier que pour tout couple ( ) d'entiers naturels

I.C.5) Montrer que et en déduire l'égalité .
I.C.6) Soit une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre 1.

Montrer que pour tout entier , la variable aléatoire admet une espérance et donner une expression de en fonction des nombres de Stirling. Confronter les valeurs trouvées pour et avec les résultats du cours sur l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre .

I.D.1) Pour , on considère l'équation différentielle

d'inconnue .
a) Montrer que la fonction est solution de (I.1).
b) Résoudre l'équation différentielle (I.1).
I.D.2) On se propose de démontrer par récurrence sur la proposition

a) Soit fixé. En utilisant par exemple l'inégalité établie en I.A.6, montrer que le rayon de convergence de la série entière est infini.
b) Montrer que la proposition (I.2) est vraie pour .
c) Soit un entier naturel fixé tel que la proposition (I.2) soit vraie. Montrer alors, en utilisant le résultat de la question I.A.2, que la fonction est solution de l'équation différentielle (I.1).
d) Conclure.
I.D.3) En déduire, pour tous et , l'égalité . On pourra commencer par développer à l'aide de la formule du binôme de Newton.
I.D.4) On fixe un entier . Déterminer et en déduire un équivalent de lorsque .

Le problème du collectionneur («coupon collector's problem») est un problème de probabilités classique. Un fabricant de tablettes de chocolat propose à ses acheteurs de collectionner des images. Chaque tablette vendue contient une image de la collection, que l'on découvre à l'ouverture de la tablette. Chaque image peut être collée dans un album contenant emplacements ( est un entier supérieur ou égal à deux) correspondant au nombre d'images distinctes de la collection. La probabilité pour un acheteur de découvrir dans une tablette une image donnée est égale à .
On se propose de déterminer le nombre moyen d'achats nécessaires pour constituer la collection complète des images et d'étudier comment les nombres de Stirling interviennent dans le problème du collectionneur.
Pour entier compris entre 1 et , on note le nombre minimum d'achats nécessaires pour obtenir vignettes différentes et le nombre minimum d'achats nécessaires pour qu'un collectionneur possédant déjà vignettes distinctes puisse enrichir sa collection d'une vignette autre que celles qu'il possède déjà.
II.A - Équivalent de lorsque
II.A.1) Préciser la loi de la variable aléatoire et donner , son espérance.
II.A.2) Pour compris entre 1 et , vérifier que la variable aléatoire suit la loi géométrique de paramètre et donner , son espérance.
II.A.3) Pour compris entre 1 et , comparer et .
II.A.4) En remarquant que , donner une expression de , l'espérance de , sous la forme d'une somme.

a) Pour , on pose . Montrer que la série de terme général est convergente. Qu'en déduit-on pour la suite ?
b) En déduire un équivalent de lorsque tend vers et interpréter ce résultat.
II.B - Équivalent de lorsque

Dans cette sous-partie, on fixe l'entier .
II.B.1) Quelle est la valeur de pour compris entre 1 et ?
II.B.2) Montrer que si est un entier supérieur ou égal à , alors .
II.B.3) En déduire un équivalent et la limite de lorsque , et interpréter ce résultat.