Centrale Mathématiques 1 TSI 2015

Pour tout , on pose et on note la matrice identité d'ordre .
Pour toute matrice de , par convention .
Les trois sous-parties I.A, I.B et I.C sont indépendantes.

Soit . Soient et deux matrices de . On suppose qu'il existe inversible telle que .
a) Montrer que pour tout .
b) En déduire que pour tout , pour tout dans .
c) Expliciter lorsque est la matrice diagonale : .

On considère, dans cette question, les matrices et .
a) Déterminer une matrice diagonale et une matrice inversible telles que .
b) On considère l'ensemble .

Montrer que est un sous-espace vectoriel de et en donner une base.
c) Justifier que toute matrice de est diagonalisable.
d) Exprimer en fonction de et de .
e) Soit appartenant à . Exprimer en fonction de et .
f) En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres de .

On considère, dans cette question, la matrice .
On considère un système de 3 oscillateurs couplés, où les 4 ressorts sont identiques et de constante de raideur . Les positions des masses sont repérées par leurs abscisses , et à partir de leur position d'origine respective et , positions pour lesquelles les ressorts ne sont pas tendus. On suppose qu'on lâche les masses aux abscisses et sans vitesse initiale.

On montre, en appliquant le principe fondamental de la dynamique et en posant (avec ), que les abscisses et vérifient le système différentiel

On pose .
a) Déterminer une matrice telle que ( ) s'écrive .
b) Exprimer cette matrice en fonction de et de .
c) En déduire une matrice diagonale et une matrice inversible telles que .
d) Résoudre alors le système ( ), c'est-à-dire déterminer les expressions de et en fonction de et des conditions initiales et .

On considère, dans cette question, la matrice .
Dans le modèle quantique de l'atome, on ne considère plus que les électrons d'un atome sont en orbite circulaire autour du noyau, mais occupent de manière probabiliste certaines régions de l'espace autour du noyau. Une orbitale atomique correspond à une région de l'espace dans laquelle on a de chance de trouver un électron considéré. Pour une molécule, constituée de plusieurs atomes, on parle d'orbitale moléculaire. En 1930, Hückel publie une méthode permettant de déterminer des orbitales moléculaires qui conduit à diagonaliser des matrices tridiagonales. Par exemple, si on s'intéresse à la construction des orbitales molé-

Figure 2 trans-butadiène
culaires du trans-butadiène (figure 2), les orbitales moléculaires, notées , sont des combinaisons linéaires d'orbitales atomiques, notées respectivement et des atomes de carbone, elles s'écrivent sous la forme .
On est alors amené à déterminer les valeurs de , pour lesquelles il existe , et réels non tous nuls, solutions du système

Les différentes valeurs de que l'on va trouver correspondent aux énergies des différentes orbitales moléculaires possibles. et sont des constantes données,

Figure 3 cis-butadiène
indépendantes des atomes de carbone considérés. La constante correspond à une énergie propre à l'atome de carbone. La constante correspond à une énergie d'interaction entre deux atomes de carbone voisins.
a) À la recherche des valeurs propres et vecteurs propres de quelle matrice correspond la recherche des , pour lesquelles il existe et non tous nuls, solutions de ( ) ?
On note cette matrice.
b) Exprimer en fonction de et de .
c) On admet que si on pose et , alors est inversible et on a .
Déterminer, en fonction de , une matrice diagonale et une matrice inversible telle que . En déduire les différentes valeurs de possibles et, pour chaque valeur de , les valeurs de et correspondantes.
d) On s'intéresse maintenant aux orbitales moléculaires de la molécule de cis-butadiène (cf figure 3). On souhaite appliquer à cette molécule la même méthode que précédemment, mais sans négliger l'énergie d'interaction entre le premier et le dernier atome de carbone. Quels coefficients de doit-on modifier ? On ne demande pas de calcul.

Pour tout , on appelle le polynôme caractéristique de et, pour tout , on pose .
I.B.1) Pour tout , déterminer une relation de récurrence liant et .
I.B.2) En déduire que pour tout .
I.B.3) En déduire que pour tout possède valeurs propres deux à deux distinctes, que l'on explicitera.
I.B.4) Pour tout , déterminer les sous-espaces propres associés aux valeurs propres de .

On pourra considérer les vecteurs .

Dans cette sous-partie, on considère un entier et deux nombres réels strictement positifs et la matrice de suivante: . On note le spectre de la matrice c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres réelles de la matrice réelle et, pour , on pose . Le but de cette sous-partie est de localiser les valeurs propres réelles de , c'est-à-dire de trouver un intervalle de tel que .
I.C.1) Soit une éventuelle valeur propre réelle de . Soit , non nul, vérifiant . On pose .
a) En examinant la -ième ligne du système , montrer que .
b) En déduire un premier intervalle tel que .
I.C.2) Dans la suite de cette sous-partie, on considère quelconque dans .

On dira qu'une suite vérifie la propriété ( ) lorsque l'on a :

Soit . On pose .
Montrer que vérifie si et seulement si les nombres sont les premiers termes d'une suite vérifiant ( ).
I.C.3) On suppose dans cette question que .
a) Déterminer l'ensemble des suites vérifiant ( ).
b) Montrer que si un vecteur vérifie alors c'est le vecteur nul.
I.C.4) On suppose dans cette question que .
a) Déterminer l'ensemble des suites vérifiant ( ).
b) Montrer que si un vecteur vérifie alors c'est le vecteur nul.
I.C.5) En déduire que .
I.C.6) Le résultat de la question I.C. 5 est-il meilleur que celui du I.C. 1 ?

Soit . On effectue lancers indépendants d'une pièce donnant pile avec la probabilité et face avec la probabilité . On va s'intéresser dans ce problème aux successions de lancers amenant un même côté. Pour décrire la succession de lancers, on introduit la notion de séries de lancers amenant un même côté et on parle de longueur d'une série. Ainsi, la première série est de longueur si les premiers
lancers ont amené le même côté de la pièce et le ( )-ième l'autre côté, et de longueur si les lancers ont amené le même côté de la pièce. Si la longueur de la première série est égale à , la deuxième série commence au ( )-ième lancer et se termine au lancer précédant un changement de côté s'il y a au moins un deuxième changement de côté au cours des lancers, sinon on dit qu'elle est de longueur . On peut définir de même les séries suivantes.
désigne l'ensemble des successions de pile ou face au bout de lancers. Pour , on note l'événement «le -ième lancer amène pile» et l'événement contraire.
Les deux sous-parties II.A et II.B sont indépendantes.

On considère dans cette sous-partie que et .
II.A.1) On note la longueur de la première série.
a) Déterminer (ensemble des valeurs prises par ).
b) On suppose que . Exprimer l'événement ( ) à l'aide des événements et pour entier naturel variant entre 1 et . En déduire la probabilité de l'événement ( ).
c) On suppose maintenant que . Exprimer l'événement ( ) à l'aide des événements et pour entier naturel variant entre 1 et . En déduire la probabilité de l'événement ( ).
d) Vérifier que .
II.A.2) On note la longueur de la deuxième série, s'il y en a une, et on pose s'il n'y a pas de deuxième série.
a) Déterminer .
b) On suppose que . Exprimer l'événement à l'aide des événements et pour entier naturel variant entre 1 et . En déduire la probabilité de l'événement .
c) On suppose que . Exprimer l'événement à l'aide des événements et pour entier naturel variant entre 1 et . En déduire la probabilité de l'événement .
d) En déduire la valeur de pour .
e) Calculer .

On considère dans toute cette sous-partie que la pièce est équilibrée, c'est-à-dire que . On suppose que l'on effectue lancers indépendants et on note le nombre de séries lors des premiers lancers ( ). Par exemple, si on prend et si les lancers successifs donnent : FFPPPPFFPPP ( désignant face et pile), on a pour une telle succession et . On admettra que pour tout est une variable aléatoire sur .
II.B.1) Déterminer les lois de et et donner leurs espérances.
II.B.2) Déterminer , puis calculer les valeurs de et .
II.B.3) Fonctions génératrices de

On pose, pour et pour .
a) Pour , comparer l'espérance de la variable aléatoire avec .
b) Que représente ?
c) Montrer que pour tout et tout on a :

On admet que l'on obtiendrait de même

Montrer alors que .
d) Soit . Montrer que .

Calculer et en déduire que .
e) Déterminer le nombre moyen de séries dans les lancers.