Centrale Mathématiques 1 TSI 2014

Dans l'espace des polynômes à coefficients réels, on considère le -espace vectoriel défini par

Dans tout le problème, on confond les polynômes et les fonctions polynômes.
On note l'application linéaire de dans qui à tout polynôme associe son polynôme dérivé

On identifiera polynôme constant et nombre réel.

I.A.1) Soit .

À l'aide de l'égalité , montrer qu'il existe un unique couple tel que .
I.A.2) En déduire que est surjectif.
I.A.3) Montrer que est un isomorphisme.

On note , l'isomorphisme réciproque. Ainsi, si , le polynôme tel que est l'unique polynôme dans tel que .
I.A.4) Soit . On note la fonction définie par

On pourra considérer une primitive de .
a) Montrer que .
b) Vérifier que .
I. - On considère la suite de polynômes définie par et par la relation de récurrence

Le polynôme est le -ième polynôme de Bernoulli.
I.B.1) Calculer et .
I.B.2) Démontrer que pour tout entier .
Soit , on définit le polynôme par

I.C.1) Pour tout , exprimer à l'aide de .
I.C.2) Montrer que pour tout .
I.C.3) En déduire que pour tout et tout .
I.C.4) Pour tout , montrer que les nombres et sont nuls.
I. - Écrire une procédure Bern qui prend en argument un nombre entier et un nombre réel et qui affiche la valeur de l'expression . On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel usuellement utilisé.

On pose pour tout . Le nombre est le -ième nombre de Bernoulli.
Pour tout polynôme , on désigne par la fonction périodique de période 1 définie par

II.A.1) Tracer le graphe de sur l'intervalle .
II.A.2) La fonction est-elle continue sur ? Est-elle de classe sur ? De classe par morceaux sur ?
II.A.3) La fonction est-elle continue?
II.B - Soit .
II.B.1) Prouver que la fonction est par morceaux sur . À quelle condition est-elle continue sur ?
II.B.2) Montrer que, pour tout , on a

où les nombres et sont les coefficients de Fourier de , dont on donnera les expressions sous forme d'intégrales.
II. - À l'aide de la partie I, montrer que pour tout , la fonction est paire et continue sur .
II.D - Pour tout et tout , on pose

II.D.1) Pour tout , calculer .
II.D.2) Pour tout et tout , trouver une relation de récurrence entre et .
II.D.3) Pour tout , calculer .
II.D.4) Soit . Montrer que pour tout , on a

II.D.5) Pour , on pose . Justifier l'existence de ce nombre et montrer que

II.D.6) Déterminer la valeur de .

Le nombre est un entier naturel non nul et une fonction de classe sur et à valeurs dans . Pour tout entier compris entre 1 et , on note la dérivée d'ordre de la fonction .
III. - On pose .

Pour , démontrer la relation

III.B - Montrer que

III. - En déduire que

III.D - Soit une fonction de classe sur un intervalle avec .

En considérant la fonction définie sur , montrer que l'on obtient la formule d'Euler Mac Laurin :

où .

Soit la fonction de la variable réelle définie par .
IV.A - Justifier que l'ensemble de définition de la fonction est .
IV.B -
IV.B.1) Montrer que pour tout .
IV.B.2) En déduire pour tout .
IV.C - Montrer que la fonction est de classe sur .

On admet qu'elle est de classe sur .
IV.D - Soit la fonction définie par:

IV.D.1) Justifier que pour tout , la fonction est de classe sur .
IV.D.2) Pour tout réel , calculer .
IV.D.3) Démontrer qu'il existe une constante tel que

IV.D.4) Soit un entier strictement positif.

Montrer que, pour tout , on a

où .

La relation précédente permet d'établir la formule de Stirling pour la fonction

après avoir prouvé que