Centrale Mathématiques 1 TSI 2012

Le sujet comporte quatre parties. Dans les parties I et II, on établit des résultats utiles pour les parties suivantes. Le jury tiendra compte de la clarté et de la précision de la rédaction. En particulier, les candidats veilleront à justifier avec soin que les hypothèses des théorèmes utilisés sont bien vérifiées.

I.A.1) Soit un réel strictement positif.

Montrer que l'intégrale est convergente et qu'elle vérifie les inégalités suivantes :

I.A.2) Montrer que, pour tout réel , la fonction définie sur par , admet une limite quand , dont on donnera la valeur.
I.A.3) Déduire de ce qui précède que, pour tout réel , l'intégrale est absolument convergente.
- On désigne désormais par la fonction qui à associe .
I.B.1) Soit un réel strictement positif.

Montrer que la fonction est de classe sur l'intervalle .
I.B.2) En déduire que est de classe sur l'intervalle .

Calculer puis , pour tout .
- Soient et deux réels vérifiant .
Montrer que l'intégrale est convergente et calculer sa valeur.
On pourra utiliser la fonction étudiée précédemment.
- Dans cette question, on considère l'intégrale , dans laquelle est un réel strictement positif et un entier supérieur ou égal à 1 .
I.D.1) Montrer que cette intégrale est convergente.
I.D.2) Vérifier que, pour tout réel strictement positif et tout entier supérieur ou égal à 1 , on a

I.D.3) En déduire la valeur de l'intégrale .

Dans cette partie, on se place dans l'espace vectoriel des polynômes réels.
On définit sur l'application qui à associe le polynôme défini par :

Cette application est un endomorphisme de , ce qu'on ne demande pas de justifier. Pour tout entier supérieur ou égal à 2 , on définit l'endomorphisme obtenu en composant endomorphismes égaux à :

On considère la famille de polynômes définie par

Dans les questions qui suivent, désigne toujours un entier supérieur ou égal à 1 .

II.A.1) Montrer que la famille est une base de l'espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à .
II.A.2) Soit un entier vérifiant .

Déterminer en fonction de . Donner également la valeur de .
II.A.3) Soit un entier supérieur ou égal à 1 et un entier vérifiant .

Déterminer en distinguant les cas : et .
II.A.4) Déduire de ce qui précède que, si est un polynôme de degré inférieur ou égal à , alors .
II.B - Soit .
II.B.1) Démontrer que le polynôme est donné par la formule

On pourra effectuer une récurrence.
II.B.2) En déduire, pour tout entier vérifiant , l'égalité suivante,

Dans toute cette partie, et désignent des entiers supérieurs ou égaux à 1 et un réel strictement positif.

III.A.1) Montrer que l'intégrale est convergente.
III.A.2) Montrer que l'intégrale converge si et seulement si .
III. B - Désormais, on suppose la condition vérifiée. On définit la fonction qui à associe :

III.B.1) Soit un réel strictement positif.

Montrer que la fonction est de classe sur l'intervalle .
III.B.2) En déduire que est de classe sur l'intervalle . Montrer que si , on a

III.C.1) Montrer que, pour tout , on a .
III.C.2) Montrer que, pour tout , on a :

III.C.3) En déduire que .
III. - On définit la fonction qui, à , associe :

On suppose dans cette question que .
Montrer que .
III. - Dans cette question, on utilisera le résultat qu'on admet pour l'instant.

Montrer par récurrence sur l'entier variant de 1 à , qu'on a : .
III.F - Le but de cette question est d'établir que . On utilisera l'égalité (II.1).
III.F.1) Montrer que, pour tout entier vérifiant

III.F.2) Rappeler le développement limité de la fonction à l'ordre lorsque tend vers 0 . En utilisant ce développement limité pour la fonction lorsque , montrer que :

où désigne une fonction admettant pour limite 0 lorsque .
Vérifier qu'il existe des constantes , où est un entier relatif compris entre et , telles que :

III.F.3) Montrer que, pour tout entier vérifiant , la constante est nulle.
III.F.4) En déduire que, pour tout entier vérifiant , on a .

IV
Dans cette partie, est un réel fixé. On considère la série entière de terme général , où est la famille de polynômes étudiée dans la partie II.
IV.A - Dans cette question, on suppose que est un entier relatif négatif.
IV.A.1) Préciser la valeur de lorsque . En posant , donner la valeur de lorsque en fonction de
IV.A.2) Justifier l'existence de la somme pour tout réel et la calculer.
IV.B - Dans cette question, on suppose que n'est pas un entier négatif.
IV.B.1) Déterminer le rayon de convergence de la série entière .
IV.B.2) Pour tout réel tel que cette série converge, on pose .

Montrer que .
IV.B.3) En déduire la valeur de pour .
IV.C - Dans cette question, on étudie la convergence de la série de terme général , lorsque . On suppose que est un réel fixé, et on définit une suite en posant

IV.C.1) Pour , on pose .

Montrer qu'il existe une unique valeur de qu'on explicitera, pour laquelle la série de terme général , converge.
Dans la suite de cette question, on suppose que est désormais égal à cette valeur.
IV.C.2) Montrer que la suite converge et que sa limite , qu'on ne cherchera pas à calculer, est strictement positive. En déduire que : .
IV.C.3) Préciser pour quelles valeurs de la série de terme général converge. Donner dans ce cas la valeur de et celle de . On citera avec précision le théorème utilisé.