Centrale Mathématiques 1 TSI 2010

Définitions et notations :

Lorsque l'énoncé demande d'écrire un algorithme, ce dernier peut être rédigé à la convenance du candidat, dans un langage algorithmique naturel, dans un langage d'un logiciel de calcul formel utilisé en classes préparatoires, ou dans un autre langage de programmation en spécifiant lequel.

Pour tout nombre réel fixé, on considère l'équation différentielle

où est une fonction inconnue de la variable de classe sur un intervalle réel et à valeurs réelles.
I.A.1) On suppose que est strictement positif.

On considère une suite réelle et on définit une fonction comme la somme de la série entière pour avec .
a) Déterminer pour tout l'expression de comme somme d'une série entière.
b) Dans cette question, on suppose que est solution de .

Déterminer une relation de récurrence, vérifiée par la suite pour .
Pour , déterminer en fonction de et de puis exprimer à l'aide des fonctions usuelles.
c) En déduire les fonctions développables en série entière qui sont solutions de sur .
Montrer qu'elles forment un espace vectoriel de dimension 2 et en donner une base. En déduire l'ensemble des solutions de ( ) sur [.
I.A.2) On suppose que est un nombre réel quelconque.

Résoudre ( ) sur , puis sur et enfin sur .

On considère des réels tels que n'est pas nul.
On pose alors pour tout réel différent de

I.B.1) À quelle condition est-elle constante?

On suppose dans la suite que cette condition n'est jamais remplie.
I.B.2)
a) Déterminer des nombres réels tels que:
pour tout réel différent de .
b) En déduire le sens de variation de sur chacun de ses intervalles de définition.
I.B.3) On suppose dans cette question que est strictement positif.

On se place dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On considère la courbe ( ) d'équation , la courbe ( ) d'équation et la courbe d'équation dans ce repère.
a) Trouver une homothétie telle que .
b) Trouver une translation telle que .
c) À quelle condition sur l'application est-elle une homothétie différente de l'identité? Déterminer alors son centre et son rapport.
I.B.4) Déterminer un réel pour lequel la fonction est solution de ( ) sur des intervalles que l'on précisera.

On considère la fonction .

II.A.1) Déterminer l'ensemble de définition de .

Montrer que est périodique de période 1.
II.A.2) On considère un certain entier relatif .

Déterminer des réels tels que la restriction de à coïncide avec celle de la fonction (telle qu'elle est définie au I.B) à ce même intervalle.
II.A.3) Étudier ; on précisera en particulier ses variations, son ensemble image et on tracera son graphe dans un repère orthonormé.
II.A.4) Démontrer que pour tout nombre irrationnel (resp. rationnel non entier), est irrationnel (resp. rationnel).

On pose tel que et on s'intéresse lorsque cela est possible à la suite définie par la relation de récurrence

II.B.1) On suppose dans cette question que .

Démontrer que pour tout entier naturel est bien défini.
II.B.2) On suppose dans cette question que et que pour tout entier naturel est bien défini.
On considère et deux entiers naturels non nuls tels que .
a) Démontrer que pour tout entier naturel et que pour .
b) On définit par récurrence deux suites d'entiers et en posant pour tout et égal au reste de la division euclidienne de par lorsque est non nul et 0 sinon.
Démontrer que l'on a, pour tout entier naturel et .
c) Démontrer que la suite ( ) est strictement décroissante.

L'hypothèse du B.2) est-elle possible?
Que peut-on en conclure?
II.B.3) Énoncer une condition nécessaire et suffisante sur pour que, pour tout entier naturel soit bien défini.

On fixe dans toute cette partie tel que . On considère la suite définie au B.1) et, pour tout entier naturel , on pose .
La suite des entiers est appelée développement en fraction continue de .
II.C.1) Écrire un algorithme d'arguments et donnant .
II.C.2) On pose dans cette question (on admet que c'est un irrationnel).
a) Tester l'algorithme du II.C.1) ci-dessus sur une calculatrice pour et valant successivement pour calculer successivement et . Quelle conjecture peut-on formuler?
b) Calculer exactement les valeurs de . En déduire que la suite ( ) est stationnaire puis démontrer la conjecture du a).
c) Les limites de la calculatrice

Tester sur une calculatrice l'algorithme pour et .
Que penser du résultat obtenu?
d) Reprendre les trois questions précédentes avec (on admet que c'est un irrationnel).
II.C.3) On définit deux suites et par

et pour tout entier naturel

a) Démontrer que pour et sont des entiers naturels non nuls.
b) Démontrer que la suite est strictement croissante.

En déduire que pour tout entier naturel .
c) Démontrer que pour tout entier naturel non nul

d) Démontrer que

II.C.4) On définit une suite de rationnels par

a) Démontrer que pour tout entier naturel non nul

b) Montrer que la série de terme général ( ) est alternée et convergente.
c) En déduire que la suite converge.
d) On note la limite de la suite .

Démontrer que pour tout entier naturel est compris entre et et que

e) Écrire un algorithme d'arguments et donnant la valeur de .

Le tester dans l'exemple et donner des valeurs approchées à près de et .
Que peut-on conjecturer sur la valeur de ?
II.D - On considère un nombre irrationnel , deux nombres entiers et strictement positifs et on pose et .
II.D.1) Démontrer que le nombre réel (avec défini comme au I.B) est bien défini et qu'il est irrationnel.
II.D.2) On note respectivement et les développements en fraction continue de et définis au II.C.
Démontrer que pour tout entier naturel .

On considère deux entiers et strictement positifs et on pose :

On pose comme au II.D, et étant définie comme au I.B.
II.E.1) Démontrer que 'est pas le carré d'un entier. On en déduit et on l'admettra que est un nombre irrationnel.
II.E.2) Démontrer que l'équation du second degré

possède deux solutions réelles distinctes toutes les deux irrationnelles dont l'une, notée , est strictement positive.
II.E.3) Démontrer que .
II.E.4) Que peut-on en déduire quant au développement en fraction continue du nombre ?
II.E.5) Que peut-on dire du développement en fraction continue de pour tout ?