J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Centrale Mathématiques 1 TSI 2007

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresSéries et familles sommables
Logo centrale
🔗 Explorer
Banque
Centrale
Année
2007
Filière
TSI
Matière
Maths
Centrale TSICentrale 2007TSI MathsMaths 2007
2025_08_29_bc64cfcbcea4806ee0b2g

MATHÉMATIQUES I

Partie I - Calculs préliminaires

Dans tout ce problème et désignent deux nombres réels, est strictement positif.
I.A - Montrer que la fonction définie sur par
éà
On le note encore .
Montrer que est intégrable sur puis que est intégrable sur .

I.B -

I.B.1) Soit un réel tel que . Montrer que l'on a:
I.B.2) En déduire la convergence de ainsi que l'égalité :
I.C - Si est un segment réel et si est une application de classe de dans montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que admet une limite lorsque tend vers et déterminer cette limite.

I.D -

I.D.1) Soit et la fonction définie sur par
Montrer que admet un prolongement par continuité en 0 .
En déduire la convergence de .
I.D.2) Calculer puis, en calculant , en déduire .

Filière TSI

I.D.3) Soit l'application définie sur par
a) Donner un développement limité de d'ordre 1 en 0 .
b) En déduire que admet un prolongement continu et dérivable à .
On le note encore . Préciser et .
c) Montrer que est de classe sur .
d) En déduire que
e) Pour on pose
Montrer que cette intégrale est convergente puis que la suite converge vers .
En déduire les valeurs de et de .

I.E -

I.E.1) On considère à nouveau la fonction définie dans la première question et on pose, pour .
On a ainsi :
Montrer que est continue et intégrable sur IR.
I.E.2) Montrer que, lorsque .
I.F - Montrer que, pour tout nombre réel ,

I.G -

I.G.1) Montrer que, pour tout réel est intégrable sur .
I.G.2) Montrer que tend vers lorsque tend vers 1 par valeurs supérieures.

Partie II -

Dans cette partie :
  • on désigne par une suite de nombres réels positifs tels que :
    ( ) la série converge pour tout nombre complexe vérifiant où désigne la partie réelle de
  • on désigne par une fonction continue et croissante de [ [ dans telle que
  • on pose, pour tout réel et tout complexe vérifiant ,
On suppose que
( ) est intégrable sur .
  • On définit ainsi pour tout complexe vérifiant .
On suppose que
Dans toute la suite, on considère un nombre réel strictement supérieur à 1 .
II.A - On pose, pour tout ,
II.A.1) Montrer que la suite est croissante.
II.A.2) On a . Exprimer en fonction de
é
II.A.3) En déduire la convergence de la suite .
II.A.4) En utilisant la croissance de en déduire que la fonction admet une limite finie en .

II.B -

II.B.1) Transformer l'intégrale définissant par le changement de variable .
On pose, pour tout appartenant à ,
II.B.2) Montrer que :
En déduire l'existence d'une constante telle que : . II.B.3) En inversant l'ordre des intégrations dans la définition de (on admettra que l'inversion est possible), montrer que :

II.C -

II.C.1) Montrer que, pour tout , la fonction est intégrable sur .
Indication : on pourra utiliser la question II.A.4.
II.C.2) Montrer que, pour tout , la fonction
Elle est donc continue sur et on admettra de plus que :
II.D - Montrer que :
II.E - Montrer que :

II.F -

II.F.1) En admettant que le résultat de la question I.C reste valable si on suppose seulement la continuité de la fonction , montrer que :
II.F.2) En déduire : .

FIN ••••

Centrale Mathématiques 1 TSI 2007 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa