Centrale Mathématiques 1 TSI 2003

L'épreuve est constituée par deux problèmes indépendants.

étant un réel donné, on désigne par la fonction définie sur par :

et, dans le cas où l'intégrale est convergente, on pose :

I.A.1) On suppose .

Déterminer la limite de la fonction quand tend vers .
Lintégrale de la fonction est-elle convergente sur ?
I.A.2) Reprendre la question précédente dans le cas où .
I.A.3) Montrer que:

L'intégrale de la fonction est-elle convergente sur quand vérifie ?

I.B - On suppose . On pose :

et .
I.B.1) Montrer que l'intégrale de la fonction est convergente sur si et seulement si la série

I.B.2) Montrer que:

I.B.3) Montrer que

I.B.4) étant un réel strictement positif, calculer

et en déduire et .
I.B.5) Montrer qu'il existe une constante strictement positive telle que

pour tout entier naturel non nul et une constante strictement positive telle que

pour tout entier naturel strictement supérieur à 1 .
I.B.6) En déduire que l'intégrale de la fonction est convergente sur si et seulement si .
I.C - On pose

pour tout réel strictement supérieur à 4 .
I.C.1) Montrer que est décroissante sur .
I.C.2) En utilisant la minoration de établie à la question I.B.5, montrer que tend vers l'infini quand tend vers 4.
I.C.3) En utilisant la majoration de établie à la question I.B.5, montrer que tend vers 0 quand tend vers .

On considère la série de fonctions

On pose

II.A - Pour quelles valeurs de la série est-elle convergente ?

On pose alors

II.B - Montrer que est à valeurs strictement positives et que la fonction est strictement croissante.
II.C - Calculer .
II.D - Montrer que, pour tout réel strictement négatif et tout entier naturel strictement supérieur à 1 :

On remarquera que, lorsque est strictement supérieur à , on a:

II.E - En déduire une valeur approchée de à près.
II.F - Étudier les limites de quand tend vers , quand tend vers .
II.G - Donner l'allure de la représentation graphique de , en précisant la nature des branches infinies.
II.H - Démontrer que :

II.I - Démontrer que l'intégrale

est convergente.
II.J - Démontrer que