Centrale Mathématiques 1 TSI 2002

Notation : désigne l'ensemble des applications continues sur l'intervalle , à valeurs réelles. On écrira indifféremment un polynôme ou et on identifiera un polynôme et la fonction polynomiale associée.
Les trois parties sont indépendantes. Seules les questions III.B.1) et III.C.5) dépendent des parties précédentes.

Pour , on note l'application définie pour par :

I.A.1) Montrer que est une application polynomiale de degré et à coefficients réels.
On pourra, par exemple, poser et exprimer en fonction de puissances entières de , en raisonnant par récurrence.
Dans toute la suite de la Partie I, pour , on note le polynôme associé à la fonction polynomiale ce qui signifie, par exemple, que si

Par ailleurs, pour , on pose .
I.A.2) Déterminer le terme de degré du polynôme .
I.A.3) Calculer .
I.A.4) Montrer que, pour tout entier .
I.A.5) Montrer que les racines de sont :

et qu'elles sont simples.
I.A.6) Montrer qu'il y a points du segment où la fonction atteint un extrémum absolu. Déterminer cet extrémum.

I.A.7) Écrire, dans un langage de programmation au choix du candidat, un algorithme permettant de calculer pour tout .

I.B.1) Tracer les courbes représentatives des fonctions .
I.B.2) Montrer qu'il n'existe pas de polynôme unitaire de degré tel que

(on pourra considérer le polynôme et utiliser les résultats précédents).
I.B.3) Établir que, pour tout polynôme unitaire de degré :

I.B.4) Soit . Montrer l'existence de l'intégrale .
a) Montrer que l'application définit un produit scalaire sur
. b) Montrer que la famille de fonctions avec est une famille orthonormale pour le produit scalaire
(on peut utiliser un changement de variable du type pour calculer certaines intégrales avec les justifications nécessaires).

Dans cette partie, le plan euclidien est rapporté à un repère orthonormé direct et est une partie fermée et bornée de ce plan, contenant une infinité de points. Pour dans , on note :

II.A.1) Montrer que l'application :

est continue sur et en déduire que et sont bien définis dans .
II.A.2) Montrer que .
II.A.3) Justifier que .
II.B - Montrer que si est un segment de longueur , alors .
II.C - On suppose à présent que est le cercle de centre l'origine et de rayon . L'angle polaire d'un point est par définition l'angle ( ).
II.C.1) Montrer que si sont deux points de , dont les angles polaires ont pour mesures respectives et avec , on a : .
II.C.2) Soient fixés, avec .

Vérifier que la fonction, définie sur , qui à associe atteint son maximum en .
II.C.3) Étudier les variations sur de la fonction qui à associe .
II.C.4) Déduire de ce qui précède que .

Dans toute la partie III, est le segment de l'axe réel. Pour tout entier , on note:

III.A.1) Montrer que pour tout , il existe tels que .
III.A.2) Vérifier que .
III.A.3) Vérifier que et en déduire que .
III.A.4) Montrer que la suite est convergente. On notera désormais .
Pour , on note l'ensemble des polynômes unitaires de degré .
On note pour ,

III.B.1) À l'aide de la question I.B.3, calculer pour .
III.B.2) Montrer que la suite est convergente ; on pose . Déterminer .
III.B.3) Établir que si une suite converge vers , la suite

(on pourra traiter le cas particulier puis ramener le cas général à ce cas).
À tout élément , on associe le déterminant dont on admet la valeur :

III.C.1) Démontrer que pour tout polynôme unitaire de degré , on a :

III.C.2) En développant le dernier déterminant par rapport à la dernière ligne, établir que :

III.C.3) En considérant le polynôme particulier , défini par :
, montrer que :

III.C.4) Déduire de ce qui précède que .
III.C.5) En utilisant les questions III.C.2, III.B. 1 et III.B.3, montrer que et conclure que .