Centrale Mathématiques 1 TSI 2000

Le but de ce problème est de définir et d'étudier, de différentes manières, la constante d'Euler. Les quatre parties proposées sont, dans une large mesure, indépendantes les unes des autres.

Pour tout , on pose:

I.A - Montrer que : .
I.B - Montrer que les suites ( ) et ( ) sont adjacentes. On notera leur limite commune.
Montrer, de plus, que: .
I.C - En déduire une valeur approchée de y à près.
I.D - Posons : ,

Montrer que la série de terme général est convergente et que l'on a:

I.E - Soit un entier supérieur ou égal à 2 . Pour tout réel non nul , on pose :

I.E.1) Soit la fonction affine définie sur l'intervalle par :

Calculer :

I.E.2) Montrer qu'il existe une et une seule fonction , affine sur chaque intervalle , telle que :

I.E.3) Que peut-on dire de la continuité de ?
I.E.4) Calculer :

I.F - Montrer que :

I.G - Etablir l'encadrement suivant :

I.H - En déduire un encadrement de , pour .
I.I - Donner une valeur approchée de à près.

II.A - Montrer l'égalité :

II.B - En déduire que :

II.C - Démontrer les inégalités suivantes :
II.C.1) ,

II.C.2) ,

II.C.3) ,

II.C.4) ,

N.B. : on pourra commencer par démontrer que :

II.C.5) ,

II.D - Montrer que l'intégrale

converge et que l'on a :

On pose: ,

III.A - Montrer que est prolongeable par continuité en 0 et bornée sur .
III.B - Montrer que l'intégrale est convergente.
III.C - On pose, pour :

Montrer que existe, pour tout , et que l'on a:

III.D - Montrer que l'intégrale est convergente et que l'on a :

III.E - Montrer que :

III.F - En déduire que :

Soit le sous-espace de formé des polynômes de degré inférieur ou égal à . Soit l'endomorphisme de défini par:

Soit la restriction de à , considérée comme endomorphisme de .
IV.A - Déterminer .
IV.B - Soit . Montrer qu'il existe un et un seul polynôme de tel que:

IV.C - Soit, pour .
IV.C.1) Calculer .
IV.C.2) En déduire l'égalité :

IV.D - Déterminer les polynômes , pour .
IV.E - Montrer que :

IV.F - Pour , on pose :

IV.F.1) Déterminer une relation de récurrence entre et .
IV.F.2) Calculer .
IV.F.3) Donner une expression de en fonction de .
IV.F.4) Etablir les inégalités suivantes :

IV.F.5) A l'aide de la question I.D, en déduire un encadrement de .
IV.F.6) Donner les dix premières décimales de .