Centrale Mathématiques 1 PSI 2023

Dans tout le problème, est un entier naturel non nul. On identifie un vecteur de et la matrice colonne à lignes formée de ses coordonnées dans la base canonique de . L'élément nul de est noté .
L'ensemble des matrices carrées d'ordre à coefficients réels est noté et l'ensemble des matrices inversibles d'ordre est noté . On désigne par la matrice identité d'ordre et par la matrice nulle d'ordre .
Pour toute matrice de , on appelle image de , notée l'image de l'endomorphisme de canoniquement associé à et on appelle noyau de M , noté , le noyau de cet endomorphisme.
Pour toute matrice de , on note sa transposée, son déterminant, son rang, sa trace, son polynôme caractéristique et l'ensemble de ses valeurs propres complexes. On rappelle que et ont le même rang et le même déterminant.
On note la transposition dans , c'est-à-dire l'application qui à toute matrice associe .
Si et sont deux bases de et si est un endomorphisme de , on note la matrice dont, pour tout entier , la -ième colonne est formée des coordonnées du vecteur dans la base .
Lorsque , on simplifie la notation en qui désigne la matrice, dans la base , de l'endomorphisme . On définit la suite des puissances de en posant

Si est un polynôme de , on rappelle que .
Lorsque désignent des matrices carrées d'ordres respectifs , on note la matrice carrée d'ordre , diagonale par blocs, égale à

On dit qu'un endomorphisme de

L'objectif du problème est de caractériser les endomorphismes réalisant l'une de ces propriétés.

- On suppose que et sont trois bases de et que et sont deux endomorphismes de .
Q 1. Question de cours. Démontrer que

Q 2. En déduire qu'il existe deux matrices et appartenant à telles que

On suppose que est une matrice de .
Q 3. Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé. Montrer que, pour tout entier naturel .

Q 4. En déduire que, si est un polynôme annulateur de , alors toute valeur propre complexe de est une racine dans de .

L'ensemble des endomorphismes de est noté .
Pour toute matrice , on note l'application

Q 5. Vérifier que, pour toute matrice appartient à .
Q 6. Démontrer que, si appartient à , alors conserve le rang.
Q 7. Démontrer que l'application

est linéaire et injective.
Dans la suite de cette sous-partie II.A, est un élément fixé de .
Q 8. Démontrer que .
Q 9. En déduire que, pour tout polynôme de .
Q 10. À l'aide du résultat précédent, démontrer que est diagonalisable si et seulement si est diagonalisable.
Q 11. Démontrer que est un polynôme annulateur de et que est un polynôme annulateur de .
Q 12. En déduire que .
II.B - Multiplication à gauche et à droite par des matrices inversibles avec ou sans transposition préalable
Pour toutes matrices et appartenant à , on considère les applications

On admet que et sont des endomorphismes de .
On pose

Q 13. Démontrer que est stable par composition, c'est-à-dire que

II.B.1) Soient et deux matrices de .

Q 14. Montrer que et sont des automorphismes de et préciser leurs applications réciproques.
Q 15. Montrer que et conservent le rang.
Q 16. Donner une condition nécessaire et suffisante sur et pour que et conservent le déterminant.
Q 17. Montrer que et conservent le polynôme caractéristique.
II.B.2) Dans cette section, on prend .

Q 18. Montrer que et .
Q 19. En déduire que les ensembles et sont disjoints.

On suppose que est un endomorphisme de . Son noyau est noté .
III. - On suppose dans cette sous-partie que est un isomorphisme. On se donne une base de . On note la base

Q 20. Déterminer .
III. B - On suppose dans cette sous-partie que n'est pas l'endomorphisme nul et que . Soit une base de , que l'on complète (à gauche) en une base de .
Q 21. Montrer que la famille est libre.
Q 22. Justifier que .
On complète la famille en une base de .
Q 23. Déterminer .
III. - Dans toute la suite du problème, pour tout entier entier naturel , on note

en convenant que et .
Soit un élément de de rang .
Q 24. Montrer qu'il existe deux matrices et de telles que

III.D - On suppose dans cette sous-partie que et que et sont deux éléments de de rang 1. On suppose que et sont distinctes.
Q 25. Montrer qu'il existe deux matrices et de telles que

où et sont des réels, non tous deux nuls.

Dans toute cette partie, on suppose que .
On désigne par la base canonique de , avec

Q 26. Expliciter la matrice de la transposition dans la base canonique de .
Cette matrice de sera notée .
Q 27. Justifier sans calcul que est diagonalisable
Q 28. Préciser les valeurs propres et les sous-espaces propres de .
On se donne deux éléments et de ,

Q 29. Montrer que la matrice, dans la base , de l'endomorphisme est de la forme

où est un élément de à déterminer.

On suppose dans la suite de cette partie que est un endomorphisme de conservant le rang.
IV.B -

Q 30. Montrer que est un automorphisme de .
Q 31. Déterminer les rangs de . En déduire l'existence de deux matrices et de , telles que:

où et sont des réels tels que .
On adopte alors les notations suivantes: .
Pour tout et désigne la -ième colonne de la matrice .
Q 32. Déterminer et .
Q 33. Démontrer que .
Q 34. En considérant le rang des matrices et , démontrer que .
On déduit des deux questions précédentes que .
On suppose dans cette sous-partie que .
Q 35. En étudiant , démontrer que les nombres sont tous trois non nuls.
Q 36. En utilisant les résultats de la question précédente et en considérant les rangs des matrices , et , démontrer que

avec et .
Q 37. En déduire que appartient à .
- On suppose à présent que .
Q 38. Démontrer que la matrice, dans la base , de l'endomorphisme de est égale à

Q 39. Démontrer que .
Q 40. En déduire que appartient à .
On a ainsi démontré, pour , qu'un endomorphisme de conserve le rang si et seulement s'il appartient à .

On admet que ce résultat est encore valable lorsque est un entier strictement supérieur à 2 .

On suppose dans cette sous-partie que et que est un endomorphisme de conservant le déterminant.
On considère une matrice non nulle de vérifiant .
Q 41. Montrer que est de rang 1.
La partie III assure l'existence de deux éléments et de tels que

On pose alors .
Q 42. En calculant de deux manières différentes , aboutir à une absurdité et conclure que est un automorphisme de .

Q 43. En discutant selon les valeurs possibles du rang, démontrer que conserve le rang.
On a ainsi démontré que tout endomorphisme de qui conserve le déterminant conserve le rang. On admet que ce résultat s'étend au cas où est un entier naturel non nul quelconque.
Q 44. Caractériser les endomorphismes de qui conservent le déterminant.
- On revient au cas général où est un entier naturel non nul.

Q 45. Démontrer que l'application

est une forme linéaire vérifiant

Q 46. Montrer que l'application

est un produit scalaire sur .
Q 47. En déduire que, si une matrice de vérifie

alors .
V.B.2) Application à la caractérisation des endomorphismes de conservant le polynôme caractéristique
Q 48. Démontrer qu'un endomorphisme de qui conserve le polynôme caractéristique conserve également le déterminant et la trace.
Q 49. Caractériser les endomorphismes de qui conservent le polynôme caractéristique.