L'objectif de ce sujet est l'étude de la gestion des erreurs dans un processus industriel.
On considère un processus industriel automatisé au cours duquel une tâche répétitive est effectuée à chaque instant

. On note

la variable aléatoire égale au nombre d'erreurs susceptibles de se produire à l'instant

. On admet que le système parvient à corriger ces erreurs et à maintenir son fonctionnement si le nombre total d'erreurs enregistrées jusqu'à l'instant

, noté

, reste inférieur à une quantité de la forme amn, où

est une constante fixée et

est le nombre moyen d'erreurs enregistrées à chaque instant. On est donc amené à estimer une probabilité de la forme

, dans le but de montrer qu'elle tend vers 0 très rapidement lorsque

tend vers l'infini.
Dans la première partie, on étudie le cas particulier où les variables aléatoires

sont mutuellement indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre

. Dans la deuxième partie, on démontre partiellement le théorème de Perron-Frobenius, qui permet, dans la troisième partie, d'étudier le cas où les variables aléatoires

forment une chaîne de Markov, c'est-à-dire où le nombre d'erreurs enregistrées à l'instant

dépend uniquement de celui enregistré à l'instant

I Cas de la loi de Poisson

Dans cette partie, on étudie le modèle élémentaire où la suite

du nombre d'erreurs aux instants successifs est une suite de variables aléatoires identiquement distribuées, mutuellement indépendantes, et suivant une loi de Poisson de paramètre

.
L'objectif de cette partie est de donner un équivalent de

lorsque

tend vers

, afin de s'assurer que celle-ci converge vers 0 avec une vitesse de convergence exponentielle.
Pour tout

, on note

la fonction génératrice de

Soit

un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Q 1. Montrer que

sont indépendantes.
Q 2. Expliciter le calcul de la fonction génératrice

de la variable aléatoire

.
Q 3. Justifier que

.
Q 4. Montrer que la variable aléatoire

suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.

I.B -

Q 5. Vérifier que, pour tout

Q 6. Soit

. Montrer que pour tout

Q 7. Montrer que la série de fonctions

où pour tout

, la fonction

est définie sur

par

est normalement convergente sur

Q 8. En déduire que pour tout

converge et que

Q 9. En déduire que, lorsque

tend vers

Q 10. En déduire, à l'aide de la formule de Stirling, qu'il existe un réel

tel que

II Quelques résultats sur les matrices

L'objectif de cette partie est de démontrer un certain nombre de résultats d'algèbre linéaire qui serviront dans la partie suivante.

Notations

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Soit . On note l'ensemble des valeurs propres complexes de et pour , . On note .
On dit que est positive si tous ses coefficients sont positifs. On note alors .
On dit que est strictement positive si tous ses coefficients sont strictement positifs. On note alors .
Un vecteur de est dit positif si tous ses coefficients sont positifs. On note alors .
Un vecteur de est dit strictement positif si tous ses coefficients sont strictement positifs. On note alors .
On définit une relation d'ordre sur par si .
On définit une relation d'ordre sur par si .
Si alors désigne la matrice .
Si alors désigne le vecteur .
On dit que est une valeur propre dominante de si, pour tout .

On se propose de démontrer les deux propositions suivantes :

Proposition 1

est une matrice strictement positive, alors

est une valeur propre dominante de

. Le sous-espace propre associé

est de dimension 1 et est dirigé par un vecteur propre strictement positif.

Proposition 2

est une matrice strictement positive diagonalisable sur

, si

est un vecteur positif non nul de

, alors

converge, lorsque

tend vers

, soit vers le vecteur nul, soit vers un vecteur directeur strictement positif de

Dans toute cette partie II,

est une matrice strictement positive.

II.A -

Q 11. Montrer que, pour tout

Q 12. Montrer que

.
Q 13. En déduire que

puis montrer que

Q 14. On suppose

diagonalisable sur

. Montrer que, si

alors

.
Dans la suite du problème, on admettra que cette dernière implication est vraie même si la matrice

n'est pas diagonalisable sur

.
II.B - On suppose, dans les sous-parties II.B et II.C, que

est une matrice strictement positive vérifiant

.
On considère une valeur propre

de module 1 et

un vecteur propre associé à

. On se propose de démontrer que 1 est valeur propre de

.
Q 15. Montrer que

.
Dans les questions qui suivent, on suppose que

.
Q 16. Montrer qu'il existe

tel que

.
Q 17. On pose

. Montrer que pour tout

.
Q 18. Déterminer

.
Q 19. Conclure.
II. C -

Q 20. Montrer que

admet un vecteur propre strictement positif associé à la valeur propre 1.
Q 21. Montrer que 1 est la seule valeur propre de module 1 de

.
On pourra admettre sans démonstration que si

sont des nombres complexes, tous non nuls, tels que

, alors

tel que

.
Q 22.

que

.
Q 23. En regroupant les résultats des sous-parties II.B et II.C, justifier qu'on a démontré la proposition 1.
II.

- Dans cette sous-partie, on se propose de démontrer la proposition 2.

On suppose donc que

est strictement positive et diagonalisable sur

.
Pour tout

, pour tout

, on note

.
Q 24. Soit

. Soit

. Montrer que la suite

converge vers 0 .
Q 25. Soit

un vecteur positif. Montrer que la suite

converge vers le projeté de

sur

parallèlement à

. Vérifier que, s'il est non nul, ce dernier vecteur (le projeté de

) est strictement positif.

Dans la suite du problème, on admet que la proposition 2 se généralise à toute matrice

strictement positive, même non diagonalisable et que, si

est un vecteur strictement positif, alors la suite

converge vers un vecteur strictement positif dirigeant

.
II.E - Cette sous-partie permet de déterminer la valeur propre dominante

d'une matrice carrée

strictement positive de taille

.
Q 26. Justifier que pour tout entier

est semblable dans

à une matrice triangulaire, dont on précisera les coefficients diagonaux.
Q 27. Montrer que

III Une inégalité pour les chaînes de Markov

Dans toute cette partie III,

est un entier naturel non nul fixé et

une suite de variables aléatoires à valeurs dans l'intervalle d'entiers

.
On suppose que

On suppose que pour tout

ne dépend pas de

et est strictement positif. On note alors

.
On dit que

est une chaine de Markov homogène sur

, de matrice de transition

.
On attire l'attention sur les faits suivants:

la numérotation des lignes et des colonnes de commence à 0 ;
est une matrice carrée de taille .

Dans toute la suite, pour

fixé, on pose

la matrice colonne

III.A - Justification de l'existence des lois

Q 28. Justifier que

.
Q 29. Justifier que, pour tout

.
Q 30. En déduire que la loi de

détermine entièrement les lois de toutes les variables aléatoires

.
Dans toute la suite, on considère une telle chaîne de Markov, et on pose

pour ;
pour tout et tout ;
;
pour tout et tout ;
.

III.B - Définition de la fonction de taux

Soient

un entier naturel non nul et

un réel fixé.
On admet que l'espérance de la variable aléatoire

est égale

où

est le vecteur colonne défini par

.
Q 31. Justifier que

possède une valeur propre dominante

.
Q 32. Montrer que

où

.
III.

- Dans cette sous-partie, on étudie deux programmes écrits en langage Python. On suppose que la bibliothèque numpy a été importée à l'aide de l'instruction

import numpy as np

On rappelle que les opérations suivantes sont alors disponibles.

range(n) renvoie la séquence des n premiers entiers ( ).
np.array(u) crée un nouveau tableau contenant les éléments de la séquence u. La taille et le type des éléments de ce tableau sont déduits du contenu de u.
a.shape(a) renvoie un tuple donnant la taille du tableau a pour chacune de ses dimensions.
a.trace(a) donne la trace du tableau a.
np. renvoie un tableau de même forme que le tableau a dont chaque terme est l'exponentielle du terme correspondant du tableau a (exponentielle terme à terme).
np.dot(a, b) calcule le produit matriciel des tableaux et (sous réserve de compatibilité des dimensions).
a renvoie un tableau de même forme que le tableau a correspondant au produit de chaque terme de a par le nombre x .
renvoie un tableau correspondant au produit terme à terme des deux tableaux a et b . Si a et b n'ont pas le même nombre de dimensions, le plus «petit» est virtuellement étendu afin de correspondre à la forme du plus «grand». Par exemple si a est une matrice et b un vecteur, b doit avoir le même nombre de composantes que a a de lignes, il est alors virtuellement transformé en matrice avec le même nombre de colonnes que a , chaque colonne valant b .

Q 33. Écrire en langage Python une fonction puiss 2 k qui prend en argument une matrice carrée

et un entier naturel

et renvoie la matrice

en effectuant

produits matriciels. On pourra exploiter le fait que

.
Q 34. Expliquer ce que fait la fonction Python maxSp définie par :

def maxSp(Q:np.ndarray, k:int, t:float) -> float:
    n = Q.shape[1]
    E = np.exp(t * np.array(range(n)))
    A = Q * E
    B = puiss2k (A, k)
    C = np.dot(A, B)
    return C.trace() / B.trace()

III.D - Une majoration théorique et son interprétation

On définit, pour tout

.
On admet que cette borne supérieure existe et que la convergence de la suite de fonctions

vers la fonction

démontrée à la question 32 est uniforme sur

. On admet également dans toute la suite l'existence de

ainsi que les propriétés suivantes de

Dans toute la suite,

désigne un réel strictement positif.
Q 35. Montrer qu'il existe un rang

tel que, pour tout

et pour tout

Q 36. À l'aide de l'inégalité de Markov appliquée à la variable aléatoire

, montrer que pour

Q 37. En déduire que pour

Q 38. Donner un sens concret à

en rapport avec le processus industriel étudié et interpréter l'inégalité précédente. On pourra établir un lien intuitif avec la loi des grands nombres.
III.

- Cette sous-partie constitue une application numérique et peut être traitée en admettant les résultats précédents.
On dispose de deux suites finies de réels

. La formule de la question 32 appliquée en

avec

suffisamment grand permet d'estimer

par une valeur approchée

.
Q 39. Justifier que pour tout

constitue une valeur approchée raisonnable de

.
Le tableau 1 donne ces valeurs pour

4,50	4,55	4,60	4,65	4,70

4,75	4,80	4,85	4,90	4,95

5,00	5,05	5,10	5,15	5,20

5,25	5,30	5,35	5,40	5,45

Tableau 1

Q 40. À l'aide du tableau 1, donner un encadrement approximatif de la valeur de

et la valeur d'un réel

tel qu'il existe un rang

vérifiant pour tout