Centrale Mathématiques 1 PSI 2018

Dans tout le problème, désigne le corps ou un entier naturel supérieur ou égal à l'ensemble des racines -ièmes de l'unité. Si et sont deux entiers relatifs tels que désigne l'ensemble désigne l'ensemble des polynômes à coefficients dans . L'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans est noté .
Si , on note la matrice

Une telle matrice est appelée matrice de Toeplitz d'ordre . On nomme Toep l'ensemble des matrices de Toeplitz d'ordre à coefficients dans :

Une matrice de est dite nilpotente s'il existe tel que . On admettra qu'une telle matrice vérifie .
Pour toute matrice de , on note son polynôme caractéristique défini par . Si est un polynôme de désigne la matrice

Le but de ce problème est l'étude de certaines propriétés des matrices de Toeplitz. La partie I traite de généralités sur les matrices de Toeplitz et de quelques exemples. La partie II, indépendante de la partie I, étudie un type particulier de matrices de Toeplitz - les matrices circulantes - en s'intéressant à leur structure et à leur diagonalisabilité. Enfin, la partie III, indépendante des précédentes, aborde l'étude des matrices cycliques et les relie aux matrices de Toeplitz.

Q 1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de . En donner une base et en préciser la dimension.
Q 2. Montrer que si deux matrices et commutent et si et sont deux polynômes de , alors et commutent.

Soit une matrice de Toeplitz de taille , où ( ) sont des complexes.
Q 3. Donner le polynôme caractéristique de .
Q 4. Discuter, en fonction des valeurs de , de la diagonalisabilité de .

Q 5. Soit une matrice de . Montrer que est semblable à une matrice de type ou de type , où et sont des complexes avec .
Q 6. En déduire que toute matrice de est semblable à une matrice de Toeplitz.

Une matrice tridiagonale est une matrice de Toeplitz de la forme , i.e. une matrice de la forme

où ( ) sont des complexes.
On fixe ( ) trois nombres complexes tels que . On se propose de chercher les éléments propres de .
Soit une valeur propre de et un vecteur propre associé.
Q 7. Montrer que si l'on pose et , alors ( ) sont les termes de rang variant de 1 à d'une suite vérifiant et

Q 8. Rappeler l'expression du terme général de la suite en fonction des solutions de l'équation

Q 9. À l'aide des conditions imposées à et , montrer que (I.1) admet deux solutions distinctes et .
Q 10. Montrer que et sont non nuls et que appartient à .
Q 11. En utilisant l'équation (I.1) satisfaite par et , déterminer et . En déduire qu'il existe un entier et un nombre complexe vérifiant tels que

Q 12. En déduire qu'il existe tel que, pour tout dans .
Q 13. Conclure que est diagonalisable et donner ses valeurs propres.

Une matrice circulante est une matrice de Toeplitz , pour laquelle

Elle est donc de la forme

On pose et .
Q 14. Calculer . Montrer que est inversible et donner un polynôme annulateur de .
Q 15. Justifier que est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres (exprimées à l'aide de ) et donner une base de vecteurs propres de .
Q 16. On pose . Justifier que est inversible et donner sans calcul la valeur de la matrice .
Q 17. Soit une matrice circulante. Donner un polynôme tel que .
Q 18. Réciproquement, si , montrer, à l'aide d'une division euclidienne de par un polynôme bien choisi, que est une matrice circulante.

Q 19. Montrer que l'ensemble des matrices circulantes est un sous-espace vectoriel de , stable par produit et par transposition.
Q 20. Montrer que toute matrice circulante est diagonalisable. Préciser ses valeurs propres et une base de vecteurs propres.

Pour toute matrice de , on note l'endomorphisme de canoniquement associé à .
Q 21. Montrer que si est dans , alors les propositions suivantes sont équivalentes :
i. il existe dans tel que est une base de ;
ii. est semblable à la matrice définie par

où ( ) sont des nombres complexes.
On dit alors que est un endomorphisme cyclique, que est une matrice cyclique et que est un vecteur cyclique de .
III.A.1) Soit dans . On suppose que est diagonalisable. On note ( ) ses valeurs propres (non nécessairement distinctes) et une base de vecteurs associée à ces valeurs propres. Soit un vecteur de où sont nombres complexes.
Q 22. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur pour que soit une base de .
Q 23. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'un endomorphisme diagonalisable soit cyclique. Caractériser alors ses vecteurs cycliques.
III.A.2) Soit . On s'intéresse aux éléments propres de la matrice .

Q 24. Soit un nombre complexe. En discutant dans du système , montrer que est une valeur propre de si et seulement si est racine d'un polynôme de à préciser.
Q 25. Si est racine de ce polynôme, déterminer le sous-espace propre de associé à la valeur propre et préciser sa dimension.
Q 26. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice cyclique soit diagonalisable.

Soient une matrice cyclique et un vecteur cyclique de . On cherche à montrer que l'ensemble

est l'ensemble des polynômes en .
Q 27. Soit . Montrer que .
Q 28. Soit . Montrer qu'il existe tels que . On pourra utiliser la base et exprimer dans cette base.
Q 29. Conclure.
III.A.4) Soit .

Q 30. Donner les valeurs propres de et les sous-espaces propres associés. Est-elle diagonalisable ?
Q 31. La matrice est-elle cyclique ?
Q 32. Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec est l'ensemble des matrices de Toeplitz triangulaires inférieures.

Dans toute la suite du problème, les matrices considérées sont à coefficients réels.
Si est une matrice d'ordre et est un entier dans , on dit que le coefficient de est un coefficient diagonal d'ordre si .
On note la matrice définie par
Tous les coefficients de cette matrice sont nuls sauf ses coefficients diagonaux d'ordre qui sont égaux aux coefficients diagonaux d'ordre de .
Ainsi, si .
On note la matrice de dont tous les coefficients sont nuls sauf les coefficients diagonaux d'ordre qui valent 1 . Pour tout entier relatif , on définit l'espace vectoriel par

et sinon. Ainsi, est l'ensemble des matrices diagonales, l'ensemble des matrices dont tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement les coefficients diagonaux d'ordre l'ensemble des matrices dont tous les coefficients sont nuls sauf éventuellement les coefficients diagonaux d'ordre -1 .
Pour tout dans , on note l'espace vectoriel .
Q 33. Montrer que si et sont dans , si et , alors .
Q 34. En déduire que si et , alors
III.B.1)

Q 35. Soit une matrice nilpotente. Montrer que est inversible et que

On suppose que et que est une matrice de . On pose .
Q 36. Monter que est inversible et que .
On considère l'endomorphisme de défini par .
Q 37. Soient et . Montrer qu'il existe dans tel que .
Q 38. La matrice étant la matrice définie en III.A.4, montrer qu'il existe dans tel que

Q 39. Soit une matrice triangulaire supérieure. On pose . Montrer que et que

On définit les opérateurs

Q 40. Montrer que le noyau de est l'ensemble des matrices de Toeplitz réelles triangulaires inférieures. On admet que le noyau de est l'ensemble des matrices de Toeplitz réelles triangulaires supérieures.
Q 41. Montrer que et .
On munit de son produit scalaire usuel défini par: .
On note la restriction de à et la restriction de à .
Q 42. Vérifier que pour tous dans et dans . En déduire que et sont supplémentaires orthogonaux dans , c'est-à-dire que

Q 43. Soient une matrice triangulaire supérieure, et . Montrer que est semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux d'ordre sont égaux et vérifiant .
Q 44. En déduire que toute matrice cyclique est semblable à une matrice de Toeplitz.