Centrale Mathématiques 1 PSI 2016

Dans tout ce problème, est un entier supérieur ou égal à 2 et l'on note :

Par exemple :

Ce problème aborde l'étude de matrices à coefficients dans à travers plusieurs thématiques indépendantes les unes des autres. Les deux premières parties étudient quelques propriétés algébriques et topologiques des ensembles et définis ci-dessus. La partie III étudie le cas particulier des matrices de permutation. La partie IV étudie deux modalités de génération aléatoire de matrices à coefficients dans .

I.A.1) Justifier que est un ensemble fini et déterminer son cardinal.
I.A.2) Démontrer que pour tout ! et qu'il n'y a pas égalité.
I.A.3) Démontrer que est une partie convexe et compacte de .
I.A.4) Soit et une valeur propre complexe de . Démontrer que et donner un exemple explicite où l'on a l'égalité.

I.B.1) Faire la liste des éléments de . Préciser (en justifiant) ceux qui sont diagonalisables sur .
I.B.2) Démontrer que engendre l'espace vectoriel . Est-ce que, pour engendre l'espace vectoriel ?

Pour tout , on note

II.A.1) Démontrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur . Expliciter ( ) en fonction des coefficients de et .
On notera la norme euclidienne associée.
II.A.2) On fixe , prouver qu'il existe une matrice telle que:

II.A.3) Justifier l'unicité de la matrice ci-dessus et expliciter ses coefficients en fonction de ceux de .
II.B - Maximisation du déterminant sur et
II.B.1) Justifier que le déterminant possède un maximum sur (noté ) et un maximum sur (noté ).
II.B.2) Démontrer que la suite est croissante.
II.B.3) Soit la matrice dont tous les coefficients valent 1 . On pose .

Calculer et en déduire que .
II.B.4) Soient . Fixons et supposons que .

Démontrer qu'en remplaçant soit par 0 , soit par 1 , on peut obtenir une matrice de telle que .
En déduire que .

On munit de sa structure euclidienne canonique et on note ( ) sa base canonique.
On note l'ensemble des bijections de l'ensemble dans lui-même (appelées permutations).
Pour tout , on note la matrice de dont le coefficient ligne , colonne vaut 1 si et 0 sinon. On dit que est la matrice de permutation associée à .
On note l'endomorphisme de canoniquement associé à .
III.A - Description de
III.A.1) Donner deux définitions d'une isométrie vectorielle de et démontrer leur équivalence.
III.A.2) Démontrer que si , alors son déterminant vaut 1 ou -1 . Que penser de la réciproque ?
III.A.3) Démontrer que et déterminer son cardinal.
III.B - Quelques propriétés des éléments de
III.B.1) Soient et deux éléments de .

Démontrer que .
Justifier que l'application n'est pas injective.
En déduire qu'il existe un entier tel que , où désigne l'application identité sur l'ensemble .
III.B.2) Démontrer que tous les éléments de sont diagonalisables sur .
III.B.3) Déterminer les vecteurs propres communs à tous les éléments de dans les cas et .
III.B.4) On se propose de démontrer que les seuls sous-espaces vectoriels de stables par tous les sont , la droite engendrée par et l'hyperplan orthogonal à .
a) Vérifier que ces quatre sous-espaces vectoriels sont stables par tous les .
b) Soit un sous-espace vectoriel de , non contenu dans et stable par tous les . Démontrer qu'il existe un couple avec tel que , puis que les vecteurs appartiennent à .
c) Conclure.

On se donne une matrice de dont tous les coefficients sont des entiers naturels et telle que l'ensemble formé par tous les coefficients de toutes les puissances successives de est fini.
Démontrer que est à coefficients dans et en déduire que est une matrice de permutation. Que dire de la réciproque?

Soit . Soient des variables aléatoires mutuellement indépendantes, définies sur un espace probabilisé ( ) et suivant une même loi de Bernoulli de paramètre .
IV.A.1) Calculer la probabilité que soient égales.
IV.A.2) Quelle est la loi de ? On attend une démonstration du résultat annoncé.
IV.A.3) Soient et dans . Donner la loi de la variable aléatoire
IV.A.4) Si , on introduit la matrice colonne

et la matrice . L'application est ainsi une variable aléatoire.
a) Si , justifier que .
b) Si , justifier que , que est diagonalisable sur et que .
c) Si , justifier que est une matrice de projection orthogonale si et seulement si .
IV.A.5) Donner la loi, l'espérance et la variance des variables aléatoires et .
IV.A.6) Exprimer en fonction de et .

Quelle est la probabilité pour que la suite de matrices soit convergente ?
Montrer que, dans ce cas, la limite est une matrice de projection.
IV.A.7) Quelle est la probabilité que admette deux valeurs propres distinctes?

Soit . On part de la matrice nulle de , notée . Pour tout , on construit la matrice à partir de la matrice de la manière suivante

Les sont donc des variables aléatoires à valeurs dans et l'on considère qu'elles sont définies sur un espace probabilisé commun ( ). Voici un exemple de réalisation de cette évolution pour

Pour , le nombre de modifications réalisées lors de la -ième vague est noté . Dans l'exemple ci-dessus : .
On s'intéresse au plus petit indice pour lequel la matrice ne comporte que des 1 ; on dit alors qu'elle est totalement remplie. Dans l'exemple précédent, ce premier indice vaut 4.
On note et .
IV.B.1) Dans toute cette question on utilise le langage Python. M désigne une matrice carrée d'ordre . Ses lignes et ses colonnes sont numérotées de 0 à . L'expression permet d'accéder à l'élément situé à l'intersection de la ligne et de la colonne et len( M ) donne l'ordre de la matrice M .
a) Écrire une fonction Somme(M) qui renvoie la somme des coefficients de la matrice M.
b) Écrire une fonction Bernoulli(p) qui renvoie 1 avec la probabilité et 0 avec la probabilité . On pourra utiliser l'expression random() qui renvoie un réel de l'intervalle [ 0,1 [ selon la loi uniforme.
c) À l'aide de la fonction Bernoulli(p), écrire une fonction Modifie(M,p) qui modifie aléatoirement la matrice suivant le principe décrit au IV.B ci-dessus.
d) Écrire une fonction Simulation(n,p) qui renvoie le plus petit entier tel que est totalement remplie à partir d'un remplissage aléatoire de la matrice nulle d'ordre (qui peut être obtenue par ). Il n'est pas demandé de mémoriser les .
IV.B.2) Donner la loi de , puis la loi conditionnelle de sachant ( ) pour dans un ensemble à préciser. et sont-elles indépendantes?
IV.B.3) Soient et dans . Le plus petit entier tel que le coefficient ligne , colonne de vaut 1 est noté (dans l'exemple ci-dessus : et ). Donner la loi de .
IV.B.4) Pour un entier , donner la valeur de
IV.B.5) Soient un entier et . Que représente ? Donner sa loi (on pourra utiliser la question précédente).
IV.B.6) On note le plus petit indice pour lequel la matrice est totalement remplie.
a) Proposer une démarche pour approcher l'espérance de à l'aide d'une simulation informatique utilisant les fonctions précédentes.
b) Donner une expression de la valeur exacte de cette espérance faisant intervenir et .