Centrale Mathématiques 1 PSI 2015

Dans ce problème, nous étudions le processus de Galton-Watson qui permet entre autres de modéliser le développement d'une population. Ce processus est par exemple utilisé en biologie ou en physique nucléaire.
Dans tout le problème, on se place dans un espace probabilisé ( ).
Si est une variable aléatoire entière et positive sur cet espace, on notera , série entière de rayon de convergence au moins 1, la fonction génératrice de . On rappelle que la fonction génératrice de est la somme de la série entière :

La fonction génératrice d'une variable aléatoire caractérise sa loi. Plus précisément, si est une variable aléatoire à valeurs dans et si est une suite de réels positifs tels que, pour tout , alors, pour tout .
On admettra le théorème suivant (lemme de Cesaro) : si est une suite de nombres réels convergente vers et si on pose, pour , alors la suite converge vers .

On considère une fonction de classe sur à valeurs dans telles que et soient à valeurs positives. On suppose et .
On considère de plus la suite récurrente définie par et, pour tout .
On pose .

I.A.1) Montrer que la suite est croissante, puis qu'elle est convergente. On note sa limite.
I.A.2) Montrer que l'équation admet une plus petite solution. Dans toute la suite, on la notera .
I.A.3) Montrer que .
- On suppose . Montrer que .
On suppose maintenant . Montrer que et que pour tout .
- Dans cette question, on suppose .
I.D.1) On pose, pour . Montrer que .
I.D.2) En déduire que, quand tend vers l'infini, .

On pourra utiliser le lemme de Cesaro admis en préambule.
On suppose maintenant et on pose encore, pour .
I.E.1) Montrer que la série de terme général est absolument convergente et en déduire la convergence de celle de terme général .
I.E.2) En déduire qu'il existe tel que, quand tend vers l'infini, .

Soient une suite de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, de même loi à valeurs dans , et une variable aléatoire à valeurs dans indépendante des précédentes. est une famille de variables aléatoires mutuellement indépendantes.
On note la fonction génératrice commune à toutes les .
Pour et , on pose et , puis, .
- On souhaite démontrer l'égalité .
II.A.1) Montrer que, si et sont deux variables aléatoires à valeur dans indépendantes, alors .
II.A.2) En admettant que, pour tout est indépendante de , prouver que, pour tout , .
II.A.3) En admettant que, pour tout et sont indépendantes, montrer que

II.A.4) Pour et , on pose .

Montrer que .
II.A.5) Conclure.
II. - En déduire que, si et les sont d'espérance finie, alors aussi et .
II. - Lors d'une ponte, un insecte pond un nombre aléatoire d'œufs suivant la loi de Poisson de paramètre . Ensuite, la probabilité qu'un œuf donné devienne un nouvel insecte est .
II.C.1) Rappeler la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre .
II.C.2) En utilisant la relation de composition ci-dessus, déterminer la loi du nombre d'insectes issus de la ponte.

Soit une loi de probabilité caractérisée par la suite de nombre réels entre 0 et 1 telle que .
Dire qu'une variable aléatoire sur ( ) suit la loi signifie que et, pour tout , .
On suppose que (ce qui signifie qu'il existe au moins un entier supérieur ou égal à 2 tel que ).
On étudie un individu qui a un certain nombre de fils. Ces fils ont également chacun (indépendamment les uns des autres) un certain nombre de fils et ainsi de suite. Afin de modéliser la situation, on se donne des variables aléatoires indépendantes qui suivent toutes la loi , on pose la variable certaine égale à 1 et, pour et ,

représente le nombre d'individus à la génération .
S'il n'y a pas d'individu à la génération , il n'y en a pas plus à la génération suivante et sinon, le nombre de fils du ème élément de la génération est égal à .
On dit qu'il y a extinction lorsqu'il existe un entier tel que .
On note la fonction génératrice de la loi (et donc de chacune des variables ) et, pour la fonction génératrice de la variable aléatoire .
On a donc en particulier, pour .
On suppose que toute variable aléatoire suivant la loi possède une espérance égale à et une variance.

III.A.1) Montrer que, pour tout .
III.A.2) Exprimer, pour , l'espérance de en fonction de et de .
III.A.3)
a) Vérifier que la probabilité d'extinction est égale à la limite de la suite .
b) Vérifier qu'on peut appliquer les résultats de la partie I à la suite .
III.A.4) Si , montrer que la probabilité d'extinction est égale à 1 .

On définit alors le temps d'extinction par :

On admettra que est une variable aléatoire.

On suppose dans cette question que .
III.B.1) Vérifier que admet une espérance.

a) Montrer que, pour tout entier .
b) Montrer que .
c) En déduire une majoration de .

Dans cette question, on suppose .
On note, pour et .
On admettra que est une variable aléatoire définie sur .
III.C.1) Montrer que est définie sur un ensemble de probabilité 1 .

a) Montrer que, pour tout est une suite convergente. Déterminer sa limite.
b) En déduire que, pour tout converge vers .
c) Montrer que, pour tout , tout et ,

d) En déduire que la suite de fonctions converge simplement vers sur .

a) Exprimer en fonction de .
b) On admet que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 et pour tout .

En déduire que, pour tout .
c) Montrer que est d'espérance finie si et seulement si . Calculer l'espérance lorsque c'est le cas.

On suppose dans cette partie que, pour tout .
IV. - Exprimer, pour et calculer .
IV.B - Vérifier que, pour tout .

On peut donc poser, .
IV.C - Montrer que, pour , la suite est arithmétique.
- En déduire que, pour et .
IV.E - Exprimer, pour en fonction de et .
IV. - Exprimer, en fonction de , la probabilité de l'événement .

La variable admet-elle une espérance?
IV.G - Exprimer, pour en fonction de .

En déduire la loi de .

On suppose dans cette partie .
On étudie un problème légèrement différent : étant un entier strictement positif fixé, on suppose qu'il y a individus à la génération 0 ; ensuite tout se passe comme précédemment.
On note le nombre d'individus à la ième génération et on définit la probabilité que la suite prenne la valeur pour la première fois au rang :

Pour et entiers naturels non nuls, on définit de même comme la probabilité pour que la suite prenne la valeur pour la rième fois au rang .
Vérifier que les séries et convergent quand .
On peut donc définir, pour et .

V.B.1) Montrer que .
V.B.2) Montrer que la probabilité que la suite ne prenne pas la valeur est non nulle ; on note cette probabilité.

On pourra étudier séparément les cas et .

V.C.1) Soit et un entier naturel supérieur ou égal à 2. Montrer la relation

V.C.2) En déduire que, pour tout entier strictement positif, ( désigne fois).

V.D.1) Montrer que la probabilité que la suite prenne la valeur une infinité de fois est nulle.
V.D.2) Montrer qu'il en est de même pour la suite .
- Soit une suite d'évènements tous de probabilité 1.
Montrer que . Qu'en déduit-on pour ?
- Soit la probabilité qu'il y ait extinction et la probabilité que la suite ( ) diverge vers l'infini. Montrer que .