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Centrale Mathématiques 1 PSI 2014

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Polynômes et fractionsAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSéries entières (et Fourier)Algèbre généraleAlgèbre linéaire
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Centrale
Année
2014
Filière
PSI
Matière
Maths
Centrale PSICentrale 2014PSI MathsMaths 2014
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Notations

  • On note la partie entière du réel .
  • On se place dans le plan euclidien muni de son repère orthonormé canonique , d'origine .
Les trois parties sont dans une large mesure indépendantes ; les parties II et III utilisent les notations et introduites dans la première partie.

I Première partie

- Soit un nombre complexe, de partie réelle et de partie imaginaire , tels que . On note
I.A.1) Justifier que et sont bien définies.
I.A.2) Lorsque vaut successivement et , calculer et .
I.A.3) Vérifier que et que .
I.A.4) Représenter sur une figure le cercle de centre et de rayon et les points d'affixe et d'affixe - .
En considérant des angles bien choisis, montrer que
où désigne la détermination principale de l'argument du nombre complexe .
I.A.5) Déterminer et en fonction de et .
I.A.6) Résoudre à l'aide de l'équation , d'inconnue .
I.A.7) En déduire que est une bijection de dans . Préciser sa bijection réciproque.
Dans la suite du problème, on prolonge à en posant si .
I.B - Soient et deux nombres complexes tels que .
On dit qu'une suite complexe vérifie la relation de récurrence ( ) si l'on a
I.B.1) On suppose que . On note . On appelle la suite et la suite .
Montrer que vérifie si et seulement si .
Déterminer vérifiant et les conditions initiales et , en fonction de et .
I.B.2) On suppose que et . On note et les suites et .
Montrer que vérifie si et seulement si .
Déterminer vérifiant et les conditions initiales et , en fonction de et .
Dans la suite du problème, on note:
  • l'unique suite vérifiant et les conditions initiales et ;
  • pour tous et .
    I.B.3) Expliciter et et déterminer leurs racines dans .
    I.B.4) Montrer que, pour tous et , on a
On pourra procéder par récurrence.

II Deuxième partie

Soit . On note (respectivement ) l'ensemble des points du plan d'affixe complexe tels que respectivement .
II. - Dans cette question on suppose que est un réel noté .
On se place dans le repère orthonormé de centre d'affixe , déduit de par translation.
II.A.1) Montrer qu'une équation de la courbe en «coordonnées polaires ( )» dans le repère est
II.A.2) Simplifier cette équation lorsque . Étudier et tracer l'allure de la courbe .
II.B - On suppose à nouveau complexe quelconque.
II.B.1) Justifier que est une partie bornée du plan. Est-elle ouverte ? fermée ? compacte ?
II.B.2) Justifier que l'origine est un point intérieur à .
II. - On reprend dans cette question la notation introduite dans la première partie à la question I.A.
II.C.1) Soit tel que . On note
Prouver que, pour tout .
II.C.2) Que dire du rayon de convergence de la série entière ?
On note sa somme.
II.C.3) Lorsque cela a un sens, calculer .
II.C.4) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction .
II.C.5) Montrer qu'il existe un disque ouvert non vide de centre inclus dans tel que
II.C.6) En déduire que la fonction de la variable réelle
admet un développement limité à tout ordre en 0 . On le note
Déterminer les coefficients pour .
II.C.7) Retrouver alors la relation (I.1).

III Troisième partie

On note :
  • un réel tel que ;
  • le -espace vectoriel des fonctions de classe sur et à valeurs réelles;
  • le sous-espace vectoriel de des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à , où ;
  • l'application qui, à toute fonction de , associe la fonction
  • l'application de dans définie par

III.A -

III.A.1) Vérifier que est un produit scalaire sur .
III.A.2) Justifier que est un endomorphisme de . Est-il injectif ?
III.A.3) Montrer que
On pourra calculer la dérivée de .
III. B - Soit .
III.B.1) Justifier que induit sur un endomorphisme et que cet endomorphisme induit (encore noté ) est diagonalisable.
III.B.2) Montrer qu'il existe une base de constituée de vecteurs propres de de degrés deux à deux distincts.
III.B.3) Vérifier que deux vecteurs propres de de degrés distincts sont associés à des valeurs propres distinctes.
On pourra s'intéresser au coefficient dominant d'un polynôme judicieux.
III.B.4) Justifier que deux vecteurs propres de de degrés distincts sont orthogonaux.
III.B.5) Montrer que tout vecteur propre de de degré supérieur ou égal à 1 s'annule au moins une fois dans l'intervalle .
III. - Dans cette partie, on suppose .
On note la norme associée à .
III.C.1) Justifier que, pour tout , il existe un unique polynôme vecteur propre de de degré , de norme 1 et de coefficient dominant positif. On le note .
III.C.2) Soit . Montrer que la fonction
est développable en série entière sur .
III.C.3) En déduire que
III.C.4) En dérivant deux fois la fonction , montrer que pour tout , est vecteur propre de .
III.C.5) En déduire que, pour tout et sont proportionnels. Expliciter le coefficient de proportionnalité.
III.C.6) Pour , déterminer les racines de .
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