Centrale Mathématiques 1 PSI 2010

Le problème porte sur des déclinaisons de la lettre "C" dans différents domaines des mathématiques. Les trois parties du problème sont largement indépendantes.

On considère la matrice à coefficients réels

On note ( ) la base canonique de , et l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est . Selon l'usage, on identifie les matrices colonnes à 7 lignes à coefficients réels et les vecteurs de .
On note les vecteurs colonnes de la matrice .

Déterminer une base du noyau et une base de l'image de , ainsi que le rang de .

On note le sous-espace vectoriel de engendré par les trois premiers vecteurs colonnes et de .
I.B.1) Montrer que est stable par .
I.B.2) Montrer que ( ) est une base de , et calculer la matrice dans cette base de l'endomorphisme de induit par .
I.C - Détermination sans calcul du spectre de

Dans cette question, on se propose de calculer le spectre de sans calculer son polynôme caractéristique.
I.C.1) Pourquoi 1 est-il valeur propre de ?
I.C.2) Peut-on déduire du seul calcul de la trace de que est diagonalisable dans ?
I.C.3) Calculer . À partir des informations complémentaires obtenues par le calcul de la trace de , déterminer le spectre de .
La matrice est-elle diagonalisable dans ?

I.D.1) Déduire des questions précédentes le spectre de . On précisera l'ordre de multiplicité des valeurs propres.
I.D.2) La matrice est-elle diagonalisable sur ? sur ? Si oui, indiquer une matrice diagonale semblable à .

Notation : si est une fonction de classe d'un ouvert de vers , on note, pour tout entier tel que la dérivée partielle de par rapport à sa -ème variable. Ainsi, la notation désigne la valeur de la dérivée partielle de par rapport à sa -ème variable évaluée au point .

Dans cette section, on se propose d'étudier les fonctions de classe de vers qui vérifient la condition , c'est-à-dire telles que pour tout .
I.E.1) Quelle structure possède l'ensemble des fonctions de classe de vers telles que ?
I.E.2) Montrer qu'une telle fonction vérifie pour tout entier .
I.E.3) Soit . Calculer la matrice jacobienne de en . En déduire un système d'équations reliant les dérivées partielles de en un point de .
I.E.4) Pour , calculer la matrice jacobienne de en . Compléter le système d'équations reliant les dérivées partielles de en un point de obtenu à la question précédente.
I.E.5) Application : sans calcul supplémentaire, déterminer les formes linéaires sur qui appartiennent à .

Dans toute la suite du problème, on note l'image dans de l'application

Dans cette partie, on étudie l'équation différentielle

Montrer que si est une solution de ( ) sur un intervalle , et si est un réel non nul, alors la fonction définie par est aussi une solution de sur un intervalle que l'on précisera.

On note la fonction d'une variable réelle à valeurs réelles dont le graphe est .
II.B.1) Déterminer l'ensemble de définition de , ainsi qu'une expression de .
II.B.2) Vérifier que la restriction de au plus grand intervalle ouvert inclus dans est une solution de ( ).
II.B.3) Est-ce une solution maximale? Sinon, déterminer une solution maximale dont le graphe inclut celui de .

II.C.1) Rappeler l'énoncé du théorème d'existence et d'unicité des solutions maximales d'une équation différentielle scalaire non linéaire soumise aux conditions de Cauchy.
II.C.2) Expliquer comment, et éventuellement dans quelle mesure, ce théorème s'applique à .
II.C.3) Les solutions maximales données par ce théorème sont-elles des solutions maximales de ( ) ?
II.C.4) Déduire des questions précédentes les solutions maximales de ( ).

II.D.1) Montrer que la solution déterminée à la question III.B.3) est développable en série entière au voisinage de 0 . Calculer ce développement et préciser son rayon de convergence.
II.D.2) En déduire les développements en série entière de toutes les solutions maximales de ( ) ; préciser les rayons de convergence de ces séries entières.

III.A.1) Représenter .
III.A.2) Préciser les propriétés topologiques suivantes de .
a) Est-ce un ouvert de ?
b) Un fermé?
c) Une partie bornée ?
d) Un compact?
e) Une partie convexe?

On rappelle que a été définie dans la partie II comme l'image de l'application

Dans cette question, on va chercher une paramétrisation complexe de , de la forme

où et sont deux fonctions continues de vers , la fonction étant à valeurs strictement positives.
III.B.1) Calculer pour tout .
III.B.2) Représenter sur la calculatrice l'arc paramétré

et reproduire sommairement la courbe sur la copie. Quelle lettre cette courbe évoque-t-elle?
III.B.3) À partir de l'expression de , calculer .
III.B.4)
a) Représenter la fonction sur la partie de l'intervalle sur laquelle cette fonction est définie.
b) Modifier cette fonction pour déterminer la fonction continue cherchée.

On vérifiera le résultat en représentant à l'aide de la calculatrice la courbe paramétrée .
III.B.5) Indiquer une suite d'instructions Maple ou Mathematica permettant d'obtenir ce tracé.

Dans cette question, on va construire une famille de courbes déduites de celle de la question V.A, mais donnant un aspect visuel différent de la lettre «C».
Dans ce qui suit, la notation désignera la partie entière du réel .
On définit les applications :

III.C.1) Étudier rapidement et , puis représenter sur un même graphique les deux fonctions et .
III.C.2) Représenter la fonction .
III.C.3) On définit la fonction :

On a représenté ci-contre cette courbe, lorsque . Mais la courbe a été mélangée avec d'autres courbes représentant la lettre «C». Identifier lequel des quatre graphiques représente la fonction , et expliquer pourquoi.

III.C.4) Écrire une séquence d'instructions Maple ou Mathematica permettant de créer la séquence des 100 premières courbes (on pourra créer une animation).

Dans cette question, on se propose de calculer l'aire du domaine de contenant tous les points lorsque décrit et décrit . Ce domaine est délimité par deux arcs paramétrés définis par

Pour calculer cette aire, on va utiliser la formule de Green-Riemann. Le bord du domaine étant donné par un arc paramétré complexe de la forme , on va d'abord traduire ce théorème dans le cas particulier des domaines donnés sous cette forme.
III.D.1) Rappeler l'énoncé du théorème de Green-Riemann. Expliquer comment ce théorème se traduit dans le cas d'un calcul d'aire.
III.D.2) Rappeler la formule donnant le produit scalaire de deux nombres complexes. En déduire l'expression du produit scalaire , lorsque et sont les applications et , où et sont deux fonctions définies sur un intervalle de , à valeurs réelles et de classe .
III.D.3) Si , simplifier .
III.D.4) Déduire des questions précédentes une expression de sous la forme d'une intégrale. Simplifier cette intégrale grâce à l'identité obtenue en III.D.3). Calculer enfin .