On rappelle le résultat suivant : Toute partie non vide de possède un plus petit élément noté .
On rappelle les points suivants de Maple :
La liste contenant l'unique élément est notée .
Le couple sera représenté par la liste .
Pour ajouter l'élément (qui peut être un couple) en queue de la liste on invoque :
Et pour Mathematica :
La liste contenant l'unique élément est notée .
Le couple sera représenté par la liste .
Pour ajouter l'élément (qui peut être un couple) en queue de la liste on invoque : Append [ ]
On dira qu'une série à termes réels est semi-convergente si elle converge sans converger absolument.
On dira qu'une suite à valeurs complexes vérifie la propriété si pour toute suite complexe bornée, la série converge.
On dira qu'une suite à valeurs réelles vérifie la propriété si pour toute suite réelle , la convergence de la série entraîne celle de la série .
L'objectif du problème est d'étudier, en particulier à l'aide de méthodes algorithmiques, des propriétés et des contre-exemples de la théorie des suites et des séries et de caractériser simplement les suites qui vérifient ou .
Les parties I et II sont indépendantes.
Les correcteurs tiendront compte de la présentation, particulièrement de la position correcte des indices.
Partie I - Réorganisation des termes d'une série semi-convergente
On se donne un réel . On note, pour et on se propose de construire une bijection de dans telle que .
I.A - On définit simultanément par récurrence trois suites d'entiers naturels , et et une suite de réels de la manière suivante :
pour tout , si alors :
sinon :
Dans les deux cas :
On aura intérêt à comprendre la construction précédente sous forme algorithmique.
I.A.1) Écrire une fonction suite qui prend en argument et l'entier et qui renvoie l'affichage de la liste (ou tableau si l'on préfère) .
I.A.2) En modifiant la fonction précédente de façon à ce qu'elle retourne le dessin simultané de la liste des points de coordonnées et de la droite horizontale d'ordonnée (on ne demande pas d'écrire cette nouvelle fonction), on obtient pour le dessin suivant:
Que constate-t-on pour la suite ? Expliquer le principe de l'algorithme.
I.B - On pose dorénavant, pour tout .
Prouver, pour , les propriétés suivantes:
En déduire que est injective.
I.C -
I.C.1) Démontrer qu'une suite d'entiers convergente est constante à partir d'un certain rang.
I.C.2) On se propose de démontrer que la suite croît vers .
a) On suppose dans un premier temps que cette suite est majorée.
Utiliser le I.C.1) pour démontrer qu'il existe un entier tel que pour ,
En déduire une contradiction.
b) Déduire du raisonnement précédent que la suite diverge vers .
I.C.3) Justifier rapidemment que tend vers .
I.C.4) Déduire de ce qui précède que est une bijection de sur lui-même.
I.D -
I.D.1) Démontrer que, pour tout entier , on a :
I.D.2) En déduire que pour tout naturel , il existe un entier tel que
I.D.3) Justifier l'existence d'un entier tel que pour et .
I.D.4) Soit . On note .
Démontrer que est décroissante. En déduire qu'elle converge vers 0.
I.D.5) Démontrer que ( ) converge vers et conclure.
I.E -
I.E.1) Démontrer l'existence d'une constante telle que :
I.E.2) Donner un développement analogue pour en fonction de .
I.E.3)
a) Justifier, pour tout naturel tel que et , l'égalité :
b) En déduire que :
c) En déduire un équivalent simple de et de .
d) Déterminer la limite de :
Partie II - Suites vérifiant ( ) et ( )
II.A - Montrer qu'une suite complexe telle que la série converge absolument vérifie .
II.B - Soit une suite réelle telle que la série converge.
II.B.1) Prouver que la suite possède une limite.
II.B.2) Soit une suite réelle telle que la série converge.
On note . Prouver, pour tout entier naturel , la relation:
En déduire que la suite vérifie .
II.C - Soit une suite de nombres complexes telle que la série diverge. Construire une suite de nombres complexes de module 1 telle que la série diverge. Caractériser les suites complexes vérifiant .
II.D - Soit une suite de réels positifs telle que la série diverge. On se propose de construire une suite tendant vers 0 telle que la série diverge. Pour cela on définit par récurrence trois suites et comme suit:
.
Pour
Dans tous les cas : .
II.D.1) Dans cette question seulement on suppose que et, pour tout , .
Déterminer les 6 premiers termes des suites et .
Ecrire une procédure exemple qui prend en argument l'entier et retourne la liste :
en Maple :
en Mathematica :
II.D.2)
a) Démontrer que pour tout naturel , il existe un entier tel que : (on pourra raisonner par l'absurde).
En déduire qu'on peut définir une suite strictement croissante d'entiers par:
b) Dans le cas général, calculer .
Prouver que la suite tend vers 0 et que la série diverge.
c) Déterminer et pour l'exemple de la question III.B.1).
II.D.3) Dans cette question seulement on suppose que: .
a) Écrire une fonction indexer qui prend en argument l'entier et qui retourne :
en Maple, la liste
en Mathematica la liste
où est le plus grand des entiers tel que . Par exemple l'appel de indexer(10000) retourne :
b) Soit un indice tel que . Prouver l'inégalité:
c) Calculer explicitement la différence en fonction de et . En déduire, pour inégalité :
d) Déduire des deux questions précédentes, pour , l' inégalité :
e) En utilisant une série convenable, étudier la convergence de la suite de terme général ( ); puis prouver l'existence d'une constante telle que :
en déduire que:
puis que :
Que peut-on penser de l'exécution de la fonction indexer?
II.E - Soit une suite de réels quelconques telle que, pour toute suite de réels tendant vers 0 , la série converge.
a) Prouver que la série converge.
b) En déduire que la série converge.
II.F - Soit maintenant une suite de réels telle que, pour toute suite , la convergence de la série entraîne la convergence de la série .
II.F.1) Prouver que la suite est bornée.
II.F.2) Soit une suite réelle de limite nulle. Prouver la convergence de la série .
II.F.3) Prouver que la série converge.
II.F.4) Caractériser les suites vérifiant ( ).
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