Centrale Mathématiques 1 PSI 2007

On étudie qualitativement l'évolution d'un système régi par l'équation différentielle du second ordre autonome où la fonction est paire et de classe sur est l'état du système, fonction du temps .
En introduisant la fonction auxiliaire et l'état vectoriel , on se ramène à l'étude d'un système différentiel autonome du premier ordre de dimension deux, avec condition initiale :

Si est un intervalle de et une fonction de classe définie sur , on dira que est un -difféomorphisme de sur son image si est une bijection de sur dont la fonction réciproque est aussi de classe . Cela équivaut à ce que ne s'annule pas sur l'intérieur de . Lorsque , alors est un -difféomorphisme de sur ou avec et . Ces limites existent dans en raison de la monotonie de .
Théorème de Cauchy-Lipschitz : soit une fonction sur un ouvert ; pour toute condition initiale le problème de Cauchy est de résoudre

Alors il existe un réel tel que ( ) admet une unique solution définie sur .
Si sont deux solutions de ( ) définies sur le même intervalle , elles sont égales sur .
Plan de phase et trajectoire du système : on appelle plan de phase du système l'espace dans lequel on représentera l'état . Le système différentiel ( ) est alors associé au champ de vecteurs .
Une trajectoire du système partant du point est une courbe paramétrée définie par , vérifiant le système avec la condition initiale .
On notera que le choix de est arbitraire et ne modifie pas la trajectoire.

Questions préliminaires

On prend ici avec .
I.A - On suppose : .
I.A.1) Déterminer la solution d'énergie . Quelle est la période de cette solution?
I.A.2) Démontrer que la trajectoire associée dans l'espace des phases est une courbe fermée dont on précisera la nature et tracera le graphe
a) Donner son équation et ses points caractéristiques en fonction de et .
b) Indiquer sur le graphe le sens de parcours de cette trajectoire.
I.A.3) Que vaut la solution si ?

Quelles sont toutes les trajectoires d'énergie 0 ?
I.B - On suppose : .
I.B.1) Calculer la solution générale .
I.B.2) Donner l'équation des trajectoires et les représenter graphiquement selon que ou (on indiquera le sens de parcours de ces trajectoires).
Quelle est la nature de ces courbes, sont-elles fermées?
I.B.3) Que se passe-t-il si ?

Quelles sont toutes les trajectoires d'énergie nulle?

On s'intéresse ici aux solutions de ( ) partant à l'instant d'un point du demi-plan supérieur . On pose, comme convenu, .

II.A.1) Soit . Démontrer qu'il existe un unique intervalle ouvert non vide maximal avec tel que .
II.A.2) En résolvant l'équation ( ) par rapport à , obtenir une équation différentielle du premier ordre en .
II.A.3) Montrer que la fonction , définie par

est un -difféomorphisme de sur .
Résoudre sur l'intervalle l'équation obtenue à la question précédente.
II.B - Démontrer que la fonction avec est solution de ( ) définie sur l'intervalle .
II.C - On considère une autre solution de , notée qui est définie sur le même intervalle telle que .
Soit l'intervalle maximal (contenant 0 ) sur lequel .
II.C.1) On suppose (resp. ). Appliquer le théorème de CauchyLipschitz et en déduire une contradiction (examiner les signes de ).
II.C.2) En déduire que est l'unique solution de ( ) définie sur satisfaisant à la condition initiale .
II.D - Démontrer que est l'unique solution de sur partant à l'instant du point .
II.E - On veut ici caractériser les différents types de trajectoires possibles.
II.E.1) On suppose ici que , et , .

Démontrer les propriétés suivantes :
a) et .
b) Déterminer et , puis montrer que se prolonge sur .
c) Montrer que la trajectoire se prolonge par la fonction définie sur l'intervalle en une solution de définie sur dont les deux extrémités coïncident.
d) Montrer que se prolonge en une solution périodique sur en posant . Exprimer la période sous forme intégrale, représenter le graphe de la trajectoire dans , en précisant les temps associés aux points .
II.E.2) On suppose ici que , et .

Démontrer que et . Énoncer le résultat équivalent pour .
II.E.3) On suppose ici que . Que peut-on dire de la trajectoire sur l'intervalle de temps ] [? Énoncer le résultat équivalent pour .
II.E.4) Pour les trajectoires ou étudiées en partie I, préciser les points et leur nature (type II.E.1) ou II.E.2) ou II.E.3)).

Soit , on dit que est un point d'équilibre du système ( ) si

On associe alors à ( ) le système linéarisé au voisinage de :

Ses solutions donnent une première approximation de celles de ( ) pour des conditions initiales proches de .
III.A - Quelle est la solution de , définie sur , partant de ?
III.B - Déterminer les solutions de (on posera avec ).
III.C - Le point d'équilibre ( ) est dit stable si les solutions de ( ) restent bornées lorsque .
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ( ) soit un équilibre stable. On se place dans cette hypothèse pour la suite de cette partie.

Dans toute la suite de cette partie on désigne par e un nombre réel pour lequel ( ) est un point d'équilibre stable tel que .

III.D.1) Démontrer qu'il existe un intervalle contenant tel que la restriction de à (resp. ) soit un -difféomorphisme sur son image (resp. ).
III.D.2) En déduire l'existence de tel que, pour tout , l'équation admet deux solutions avec

III.D.3) Démontrer que ( ) est un minimum local strict de , en déduire qu'il existe tel que, pour toute condition initiale (disque de centre et de rayon ), la trajectoire associée est périodique. Déterminer la période comme intégrale fonction de .
III.E - Soit une suite positive avec .

On pose, pour simplifier, .
III.E.1) Donner le développement limité à l'ordre 2 de au voisinage de .

En déduire une expression de en fonction de et .
III.E.2) En paramétrant le segment par , démontrer l'existence d'une suite de fonctions continues ( ) qui tend vers 0 lorsque tend vers l'infini, telle que

Énoncer le résultat analogue sur l'intervalle .
III.E.3) En déduire puis (énoncer précisément le théorème utilisé). Quelle période retrouve-t-on?

On prend ici . Le système ( ) représente alors le mouvement d'un pendule non linéaire (grandes élongations). Le champ de vecteur est alors -périodique en .
IV.A - Déterminer tous les points d'équilibre. Lesquels sont stables?
IV.B - Démontrer que toute trajectoire du système d'énergie est périodique. Comment sont définis les points ?
IV.C - Pour une condition initiale d'énergie , préciser les points et leur type (cf. II.E).
Démontrer qu'alors on a , tracer qualitativement la trajectoire en indiquant le sens du parcours.
IV.D - On prend ici une condition initiale d'énergie .

Que vaut ?
IV.D.1) Préciser les points et utiliser II.E. Quelle est le type des points ? Que valent ici ? Interpréter le résultat par rapport au pendule.
IV.D.2) Calculer explicitement la fonction , en déduire .
IV.D.3) Démontrer que la trajectoire et sa symétrique séparent les trajectoires périodiques des trajectoires non périodiques.
IV.D.4) Représenter qualitativement les trois familles de trajectoires dans le plan , avec les sens de parcours.
IV.E - On perturbe le pendule, et la fonction devient ici .
IV.E.1) Déterminer le nombre de points d'équilibre et leur stabilité.
IV.E.2) Démontrer que toutes les trajectoires sont ici du type II.E.1, à l'exception de celles passant par les équilibres instables.
IV.E.3) Établir un programme pour calculer la position du point d'équilibre ( ) le plus proche à droite de .