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Centrale Mathématiques 1 PSI 2006

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Equations différentiellesIntégrales généraliséesIntégrales à paramètresNombres complexes et trigonométries, calculs, outils
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Banque
Centrale
Année
2006
Filière
PSI
Matière
Maths
Centrale PSICentrale 2006PSI MathsMaths 2006
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Notations et définitions

est muni de la norme .
On note l'ensemble des fonctions continues de dans et l'ensemble des fonctions intégrables sur . Si , on pose . On note l'ensemble des fonctions bornées sur . Si , on pose .
Si , on convient que ; ainsi est continue.
On pose, lorsque cela a un sens, .
Si et est une fonction continue de dans , on note l'équation différentielle linéaire :
Par définition, une solution de ( ) est une fonction de dans de la variable de classe vérifiant ( ).
Pour une équation différentielle linéaire du second ordre , de second membre , on définit les propriétés de stabilité suivantes :
  • on dira que est stable par rapport aux conditions initiales si et seulement si pour tout , il existe tel que si est une solution de vérifiant , alors et .
  • on dira que ( ) est stable par rapport au second membre au sens 1 si et seulement si pour tout , il existe tel que si est tel que et est solution de vérifiant , alors et .
  • on dira que ( ) est stable par rapport au second membre au sens si et seulement si pour tout , il existe tel que si est tel que et est solution de vérifiant , alors et .
De plus, dans le cas de l'équation ( ) :
  • on dira que ( ) est stable par rapport au paramètre si et seulement si pour tous et , il existe tel que :
    si vérifie est solution de et est solution de avec , alors et .

Objectifs et dépendance des parties

L'objectif du problème est d'étudier le comportement des solutions de ( ) vers , ainsi que les différentes notions de stabilité.
La partie étudie le cas de l'équation «limite à l'infini » .
La partie II, indépendante de , étudie le comportement à l'infini des solutions de ( ) pour .
La partie III, qui étudie les problèmes de stabilité pour , utilise des résultats de II.A, II.C et I.5.
La partie IV, qui étudie le comportement à l'infini des solutions de ( ), utilise II.B.
La partie , qui étudie les problèmes de stabilité pour , utilise les parties IV et II.

Partie - Étude de l'équation

Si , on note l'équation différentielle . Par définition, une solution de ( ) est une fonction de classe de dans vérifiant ( ).
I.A -
I.A.1) Donner l'ensemble des solutions de ( ).
I.A.2) Dans cette question uniquement, on prend pour .
Donner l'ensemble des solutions de dans ce cas.
I.A.3) Dans cette question uniquement, on prend pour la fonction -périodique sur , définie par
Démontrer que est continue sur et déterminer l'ensemble des solutions de ( ).

I.B - Stabilité par rapport aux conditions initiales

Si , et est la solution de vérifiant , montrer que et .
I.C - Si , montrer que est solution de , et en déduire l'ensemble des solutions de .

I.D - Stabilité par rapport au second membre au sens 1

On donne .
Déterminer la solution de vérifiant , montrer que , et .
En déduire que ( ) est stable par rapport au second membre au sens 1.

I.E - Instabilité par rapport au second membre au sens

Soit .
Résoudre l'équation différentielle , et montrer que ses solutions sont non bornées, et plus précisement, ne sont pas en quand .
En déduire la non stabilité de ( ) par rapport au second membre au sens .

Partie II - Comportement à l'infini des solutions de ( ) pour

II.A - Démontrer l'existence de , pour , et sa continuité par rapport à .

II.B - Relèvement angulaire

On donne de classe .
II.B.1) Justifier l'existence d'une primitive de , et montrer que est constante.
II.B.2) En écrivant la fonction sous la forme , où et sont des fonctions à valeurs réelles, justifier qu'existent et tels que .

II.C - Comportement à l'infini pour

Soit et une solution non nulle de . On note .
II.C.1) En appliquant II.B, montrer qu'existent et telles que et .
Exprimer en fonction de et .
Les fonctions et sont fixées ainsi pour la suite de la partie.
II.C.2) Démontrer que .
II.C.3) Démontrer que .
II.C.4) Démontrer que a une limite strictement positive en vérifiant .
Démontrer que et sont bornées par .
II.C.5) Démontrer que tend vers une limite réelle quand .
II.C.6) Démontrer qu'existent et tels que .
II.C.7) Tracer l'allure du graphe de vers .

Partie III - Étude de la stabilité pour

Dans toute la partie, , et ( ) est un système fondamental de solutions de .
est le wronskien associé.
On pensera à utiliser les résultats de II.

III.A - Stabilité par rapport aux conditions initiales

Démontrer que ( ) est stable par rapport aux conditions initiales.

III.B - Stabilité par rapport au second membre au sens 1

III.B.1) Déterminer une équation différentielle vérifiée par , et montrer qu'existent réels tels que pour tout .
III.B.2) Si , montrer que les solutions de ( ) sont les fonctions du type , où est une primitive de et une primitive de .
III.B.3) Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes requises sur et dans la question précédente pour avoir ?
III.B.4) Démontrer l'existence de telle que : pour tout , la solution de vérifiant est dans , et . En déduire que ( ) est stable par rapport au second membre au sens 1 .

III.C - Instabilité par rapport au second membre au sens

On fixe .
Soit une solution de .
Soit la solution sur de telle que . On pose .
III.C.1) Démontrer que est solution de ( ), pour une fonction vérifiant .
III.C.2) Démontrer que implique que .
III.C.3) Utilisant la résolution de ( ) vue en III.B, montrer que .
III.C.4) Démontrer que ( ) n'est pas stable par rapport au second membre au sens .

III.D - Stabilité par rapport au paramètre

On fixe pour la suite de la question .
Soit .
Soit la solution de vérifiant la solution de vérifiant .
On pose .
Si , on pose et .
Comme pour , les fonctions et sont bien définies et continues sur (on ne demande pas de le montrer).
III.D.1) Démontrer que est une solution de l'équation différentielle ( ) avec
III.D.2) Démontrer que et .
III.D.3) Démontrer que ( ) est stable par rapport au paramètre.

Partie IV - Étude du comportement vers pour

est une solution non nulle de .
On pose .
IV.A - Établir que pour tout .
IV.B - Démontrer qu'existent et telles que et .
IV.C - Déterminer une équation différentielle vérifiée par et montrer que tend vers une limite réelle lorsque .
IV.D - Déterminer une équation différentielle vérifiée par , et démontrer que tend vers une limite réelle en .
IV.E - Démontrer qu'il existe un réel tel que , où est le réel défini ci-dessus.
IV.F - Tracer l'allure du graphe de vers .

Partie V - Étude de la stabilité pour

V.A - Démontrer que ( ) n'est pas stable par rapport aux conditions initiales et au paramètre.
V.B - Si , et , calculer .
Qu'en déduire concernant la stabilité de ( ) par rapport au second membre au sens ?
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