Centrale Mathématiques 1 PSI 2005

Dans tout le problème on identifie les polynômes et les fonctions polynômes correspondantes.
Soit l'espace vectoriel des fonctions de classe de dans le sousespace vectoriel des fonctions polynômes et le sous-espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à .
On pose

On ne cherchera pas à calculer .

I.A - Déterminer le développement en série entière de de la fonction

I.B - On considère l'équation différentielle :
(E) .
I.B.1) Donner la solution générale de l'équation (E).

On désigne par la solution de (E) vérifiant la condition initiale .
I.B.2) Donner l'expression de . Montrer que s'annule pour une seule valeur réelle de , notée .
I.B.3) On se propose de calculer une valeur approchée de par la méthode de Newton.
a) Déterminer préalablement un intervalle [ ] de longueur 0,1 contenant . Rappeler le principe de la méthode de Newton et expliquer comment on peut l'appliquer à partir de l'intervalle .
b) Écrire un algorithme, mettant en œuvre la méthode de Newton, permettant de déterminer une valeur approchée de à près. On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé.
c) Déterminer par l'algorithme mis en place une valeur approchée de à près.

II.A.1) Calculer .
II.A.2) Trouver une relation entre et , pour .

II.B.1) Montrer que pour tout entier naturel , il existe une constante et un polynôme tels que:

II.B.2) Déterminer et .

II.C.1) Montrer que pour tout entier naturel , il existe une constante et un polynôme tels que :

II.C.2) Déterminer et le degré de .

II.D.1) Si le degré de est égal à , que peut-on dire du degré du polynôme :

II.D.2) Montrer qu'il n'existe pas de polynôme tel que soit une constante.

Soit l'application de dans définie par :

III.A.1) Montrer que est une application linéaire sur .
III.A.2) Déterminer le noyau de .
III.A.3) L'application est-elle injective? surjective?
III.A.4) Expliciter à l'aide d'une constante et de

III.B.1) Quelle est l'image de par ?
III.B.2) Résoudre l'équation différentielle : .
III.C - On pose par convention et, plus généralement, on définit, pour tout entier, par:

III.C.1) Résoudre .
III.C.2) Résoudre .

Soit l'application linéaire de dans lui-même définie par :

IV.A - est-elle injective ? surjective ?

IV.B.1) Montrer que pour tout entier naturel, .
IV.B.2) En déduire que tout polynôme impair appartient à .
IV.C - Pour tout , entier strictement positif, on définit le polynôme :

IV.C.1) Déterminer un polynôme tel que .

On désigne par le sous-espace vectoriel de engendré par la famille .
IV.C.2) Montrer que pour tout entier naturel non nul , le polynôme est élément de .

On pourra remarquer que : .
IV.C.3) Montrer que les sous-espaces vectoriels et sont en somme directe.
IV.C.4) Montrer que .

On considère l'équation différentielle :
(1)
et on définit la fonction par :

V.A - Donner la solution générale de l'équation (1) (l'expression de cette solution utilise la fonction ).
V.B - Déterminer une fonction , impaire, développable en série entière et solution de l'équation (1). Quel est le rayon de convergence de son développement en série entière?
V.C - À l'aide des questions précédentes calculer :