J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

Centrale Mathématiques 1 PSI 2001

Familles orthonormales de fonctions lipschitziennes

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsSéries et familles sommables
Logo centrale
🔗 Explorer
Banque
Centrale
Année
2001
Filière
PSI
Matière
Maths
Centrale PSICentrale 2001PSI MathsMaths 2001
2025_08_29_197531647a093717f930g

MATHÉMATIQUES I

Définitions et notations

On note , IR l'espace vectoriel réel des fonctions définies et continues dans l'intervalle [ 0,1 ] à valeurs réelles.
Pour et éléments de , on pose , ce qui définit sur un produit scalaire dont la norme associée est notée (on rappelle que ) et munit E d'une structure d'espace préhilbertien réel.
On dit qu'une suite d'éléments de est orthonormale si elle vérifie la condition
Soit une suite orthonormale de .
  1. Si , on désigne par le sous-espace vectoriel de engendré par , par l'opérateur de projection orthogonale de sur et enfin par la distance de à .
  2. On désigne par le sous-espace vectoriel de réunion des
par définition est égal à l'ensemble des éléments de E qui sont combinaisons linéaires finies d'éléments de la famille, c'est-à-dire qui s'écrivent sous la forme , où sont des entiers distincts et des coeffi cients réels.
3) On dit que la suite orthonormale est totale dans si pour tout élément de il existe une suite d'éléments de convergeant vers .

Filière PSI

Enfin pour et , on pose
et on note et .
La partieIV est largement indépendante des trois parties précédentes.

Partiel - Généralités sur les suites orthonormales

I.A - Montrer que et sont des suites orthonormales de .
I.B - Soit une suite orthonormale de et .
I.B.1) Établir la formule .
I.B.2) Calculer
I.B.3) Expliciter dans la base .
En déduire que la série de terme général est convergente et que
I.C - On suppose toujours que est une suite orthonormale de .
I.C.1) Soit une suite d'éléments de , convergeant dans et soit .
a) Montrer que pour donné, on peut trouver tel que
b) En déduire que .
I.C.2) Démontrer alors l'équivalence entre les deux propositions suivantes:
i) est totale dans .
ii) .
I.C.3) On suppose de plus dans cette question seulement que est totale dans E .
Pour et expliciter et à l'aide des .

I.D - Étude de la suite .

I.D.1) Soit . Montrer qu'il existe une unique fonction continue paire périodique et de période 2 notée telle que sa restriction à soit égale à .
I.D.2) Montrer alors que la suite C définie dans le préambule est totale dans E. On pourra introduire les coefficient de Fourier de la fonction -périodique définie par , la fonction étant celle de la question précédente. I.D.3) Exhiber une suite orthonormale de E non totale dans E .

Partie II - Fonctions lipschitziennes

On note I un intervalle de IR non vide et non réduit à un point. Une fonction définie dans I et à valeurs réelles est dite lipschitzienne dans I si elle vérifie la condition :
On notera Lip(I,IR) I'ensemble de toutes les fonctions réelles définies et lipschitziennes dans I .

II.A - Propriétés élémentaires.

II.A.1) Vérifier que Lip(I,IR) est un sous-espace vectoriel de .
Le produit de deux éléments de Lip(I,IR) est-il encore un élément de Lip(I,IR) ? si justifier l'existence du réel défini par
Ce réel sera appelé la constante de Lipschitz de f.
II.A.2) Si I est un intervalle compact de IR, vérifier que Lip(I,IR) est une sous-al gèbre de . Exhiber une fonction définieet continuesur [ 0,1 ] mais non lipschitzienne sur ce même intervalle.
II.B - Soit une fonction de classe sur I .
Montrer que est lipschitzienne sur I si et seulement si est bornée sur I . Exprimer dans ce cas la constante de Lipschitz à l'aide de f'.
II.C - Soit une suite d'éléments de Lip(I,IR) qui converge simplement sur I vers une fonction . On suppose de plus quel'ensemble des est borné.
Montrer que .
II.D - Soit telle que .
II.D.1) Montrer qu'il existe telle que:
II.D.2) Pour et on pose .
Montrer que est de classe sur IR à dérivée bornée par 1 .
Montrer que la suite converge uniformément sur IR vers .

II.E - Dans les deux dernières questions de cette partie les suites et C sont celles définies dans le préambule.

Soit , IR .
II.E.1) Pour , calculer ( ) en fonction de ( ).
II.E.2) Montrer quela série determe général est convergente et que
II.F - Soit , IR .
II.F.1) Montrer quela série determegénéral est convergente et que
II.F.2) En déduire alors que .

Partie III - Constantes de Lipschitz d’une suite orthonormale

L'objectif est de montrer que la suite des constantes de Lipschitz des éléments d'une suite orthonormale de E est toujours minorée par une suite de la forme où est une constante positive indépendante de la suite choisie dans E .
III.A - Soient et deux suites orthonormales de . Montrer que
et en déduire que
III.B - On donne maintenant une suite orthonormale de . On suppose de plus que toutes les fonctions sont lipschitziennes dans [ 0,1 ]. III.B.1) Montrer que
III.B.2) Montrer que la suite est non bornée.
III.B.3) Montrer que .
III.B.4) Trouver la valeur de .
III.B.5) Montrer qu'il existe un réel vérifiant la propriété suivante : pour toute suite orthonormale de fonctions lipschitziennes sur [0,1] telle que la suite soit une suite croissante, on a
Ce résultat est dû à W. Rudin (1952).

Partie IV - Constantes de Lipschitz des polynômes de Legendre

Le but de cette dernière partie est le calcul des constantes de Lipschitz d'une suite orthonormale d'éléments de constituée de polynômes.
Pour IN et IR on note:
La notation représente la dérivée -ième de la fonction .
On démontre, et on admettra, que l'on a:
IV.A - Montrer qu'il existe une unique suite de réels tous strictement positifs notée telle que la suite d'éléments de définie par
est une suite orthonormale de .
Donner la valeur de pour chaque .
Dans la suite, la notation désigne l'élément ainsi calculé.

IV.B -

IV.B.1) Soit donné. Montrer que la suite est décroissante.
IV.B.2) Montrer que la suite Q définie ci-dessus est totale dans E .
Pour cela on pourra montrer quela suite tend vers 0 quand en appliquant le théorème de Weierstrass à la fonction donnée.
IV.B.3) Déterminer toutes les suites orthonormales de possédant la propriété suivante:
est une fonction polynomiale de degré n
IV.C - Montrer que
IV.D - Soient . On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
La lettre désigne une variable réelle.
IV.D.1) Démontrer quesi alors .
On pourra remarquer que
IV.D.2) Établir que
Quelles sont les valeurs de telles que ?

IV.E -

IV.E.1) En remarquant que , montrer que
IV.E.2) Prouver que
IV.F - Calculer enfin la valeur pour .
Centrale Mathématiques 1 PSI 2001 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa