Soit un -espace vectoriel. On note Id l'application identité de . Un nombre complexe est valeur propre d'un endomorphisme de si . On note l'ensemble des valeurs propres de . Pour tout , est un sous-espace vectoriel de , que l'on note .
Si est un élément de , on note sa norme euclidienne canonique : .
On note l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients réels.
On note la matrice identité de et, si , on note la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont .
L'ensemble des valeurs propres d'un élément de est noté .
On note l'ensemble des matrices symétriques réelles de taille . On note (resp. ) l'ensemble des matrices symétriques réelles positives (resp. définies positives) de taille .

Dans cette partie, désigne le -espace vectoriel des fonctions de dans indéfiniment dérivables.

Q1. Pour tout , on pose . Montrer que l'on définit ainsi un endomorphisme de .
Q2. Montrer que . Pour tout réel , déterminer une base de .

Pour tout , on définit (gaussienne de paramètre ). On admet la convergence et la valeur de l'intégrale suivante :

On fixe un réel strictement positif.
Q3. Montrer pour tout réel la convergence de l'intégrale .
On notera dans la suite
Q4. Démontrer que l'application est de classe .
Q5. Démontrer que est solution sur d'une équation différentielle du premier ordre que l'on explicitera.
En déduire que .

Q6. Démontrer que les intégrales et sont convergentes et déterminer leurs valeurs.
On définit le réel positif (resp. ) par la relation

Q7. Démontrer l'égalité , où .
Pour un élément non nul d'une certaine classe de fonctions , on a (inégalité d'Heisenberg). Si représente un signal réel, représente son étalement dans le domaine temporel et son étalement dans le domaine fréquentiel. Le principe d'incertitude d'Heisenberg dit alors qu'on ne peut pas localiser précisément et simultanément un signal dans les deux domaines.
Les multiples des gaussiennes sont les seuls éléments de qui réalisent l'égalité dans l'inégalité d'Heisenberg.
L'application vérifie donc , pour tout réel strictement positif.
Le but du sujet dans la suite est d'établir pour des signaux discrets (éléments de ), un résultat semblable, relativement à une matrice donnée (principe d'incertitude matriciel). Il s'agira en particulier de définir dans ce contexte les analogues de et et d'en étudier certaines propriétés.

Dans cette partie B, désigne un entier supérieur ou égal à 2 .
On note l'ensemble des matrices symétriques réelles de taille , à coefficients dans , de diagonale nulle. Si est un élément de on définit

Soit .
Q8. Déterminer la matrice . Que vaut ?
Q9. Calculer . En déduire et pour tout réel , déterminer .
Q10. La matrice est-elle élément de ? de ?

Soit un élément de . On note le vecteur colonne de taille ne contenant que des 1 .
Q11. Montrer que . A-t-on l'égalité?
Soit .
On rappelle qu'on peut identifier les éléments de et les matrices colonnes de taille . Ainsi, dans les questions suivantes, est identifié à la matrice colonne de taille dont les coefficients sont , et sa transposée est identifiée à la matrice ligne ( ).

Q12. Démontrer que : .
Q13. En déduire :

Q14. En déduire que .
Q15. On dit qu'un élément de vérifie la propriété ( ) lorsque pour tout ( ) tel que , il existe un entier et des éléments deux à deux distincts de , vérifiant :

Dans cette question, on suppose que vérifie la propriété . Montrer que .

Dans la partie C et la partie D , on suppose que et on considère l'élément de :

Q16. Montrer que est un élément de vérifiant la propriété ( ) définie dans la question , sous-partie B.II.
Q17. En utilisant la partie précédente, montrer qu'il existe tel que :

Q18. Déterminer et . En déduire . On vérifiera que .
On pose . Pour tout , on définit :

Q19. Soit . Démontrer que .
Montrer que :
i) pour tout ;
ii) si et seulement si .

On admet dans la suite que si et seulement si .

On rappelle que la matrice a été définie au début de la partie C .
On définit la région de faisabilité de et on note l'ensemble

À titre indicatif, la figure ci-après représente pour une certaine valeur de . Le but de cette partie est de démontrer certaines propriétés observables sur cette figure.

Q20. Montrer que .
Q21. Soit tel que . Montrer que . En déduire que intersecte la droite d'équation en un unique point dont on précisera les coordonnées.

Q22. Démontrer de même que intersecte en un unique point dont on déterminera les coordonnées chacune des deux droites suivantes : la droite d'équation et la droite d'équation .

Q23. Soient et tels que et . On considère où .
Justifier que l'application est définie sur . Démontrer que, pour tout , il existe tel que .

Q24. En déduire l'existence de la quantité pour tout .
La question Q24 permet de définir .
Q25. On admet que est un ensemble convexe. Démontrer que est une fonction convexe sur .

Pour tout , on définit un élément de par la relation . On note

Q26. Soient et tel que . Démontrer que .
On fixe .
Q27. Montrer que . En déduire .
Q28. Soient et trois réels vérifiant .
On suppose que pour tout , les racines du trinôme du second degré sont réelles. Démontrer que .

Q29. On note l'élément de dont tous les coefficients sont nuls excepté celui d'indice ( 1,1 ) qui vaut 1 . Pour tout , on note . Donner une relation entre les polynômes caractéristiques de et de . En déduire .

Q30. Soit et .
Montrer que est un sous-espace vectoriel de dont on déterminera la dimension et une base.
Q31. Montrer .
Soient et un vecteur unitaire de .
Q32. À l'aide de la formule (*) établie à la question Q13 sous-partie B.II, démontrer l'égalité :

Q33. En déduire : .
Q34. Démontrer

Q35. En déduire que :