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Centrale Mathématiques 1 PC 2024

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensRéductionPolynômes et fractions
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Année
2024
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2024PC MathsMaths 2024
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Ce sujet comporte quatre parties, qui peuvent être traitées indépendamment :
  • La partie I étudie deux façons d'approcher le réel .
  • La partie II généralise la méthode de Héron d'Alexandrie étudiée en sous-partie I.B au cadre des matrices symétriques positives.
  • La partie III traite le cas général de la méthode de Newton numérique réelle.
  • La partie IV s'inspire de la méthode de Newton abordée en partie III pour établir l'existence de la décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford, par une approche algorithmique et en donne une application à la détermination de la racine carrée de certaines matrices.

Notations

Dans tout le sujet, désigne ou et est un entier naturel non nul.
On note l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans ; on note la matrice identité dans et la transposée d'une matrice . On note l'ensemble des matrices symétriques appartenant à . On note le sous-ensemble de constitué des matrices orthogonales, c'est-à-dire des matrices vérifiant .
Pour toute matrice et pour tous , on note le coefficient d'indice de .
Pour , on note la matrice de telle que, pour tous :
On munit l'ensemble d'une norme . On rappelle que, par l'équivalence des normes en dimension finie, la notion de convergence d'une suite à valeurs dans ne dépend pas du choix de la norme . On pourra alors utiliser librement et sans démonstration dans tout le sujet les deux résultats suivants : pour toute suite à valeurs dans et pour toute matrice ,
  • la suite converge vers si et seulement si, pour tous , la suite converge vers ;
  • si et si la suite converge vers , alors les suites et convergent respectivement vers et .

I Quelques approximations de .

I.A - Via un développement en série entière.

Soit . On pose et, pour tout ,
Q1. Montrer que le rayon de convergence de la série entière vaut:
Q 2. Donner, sans justification supplémentaire, l'expression de la fonction somme de la série entière sur .
Q 3. Pour tout , on pose . Montrer que, pour tout ,
Q 4. Déterminer un équivalent simple de la suite . En déduire la nature de la série .
Q 5. Montrer que la série entière converge uniformément sur et en déduire la valeur de .
Q 6. Montrer que
I.B - Via la méthode de Héron d'Alexandrie.
Soit . On définit la suite par :
Q 7. Montrer, par récurrence sur , que, pour tout est bien défini et que .
Q 8. Pour tout , donner une expression de faisant intervenir . En déduire que, pour tout .
Q 9. Montrer que converge vers .
Q 10. Calculer . À l'aide de la question Q 8, montrer que, pour tout ,
En déduire que
I. Comparaison des différentes approximations de vitesses de convergence.
Q 11. Parmi les deux suites et , déterminer celle qui converge le plus vite vers zéro. Dans la question suivante, on s'interdit d'utiliser une valeur approchée de stockée dans Python. En particulier, on s'interdit l'utilisation de , math.sqrt(2) ou numpy.sqrt(2).
Q 12. Écrire une suite d'instructions en Python permettant, grâce à la méthode de la question , d'obtenir une approximation de avec 10 décimales correctes.

II Racine carrée d'une matrice symétrique positive.

On note l'ensemble des matrices symétriques positives de , c'est-à-dire des matrices vérifiant pour toute matrice colonne .
Dans toute cette partie, étant donnée une matrice , on appelle racine carrée de toute matrice telle que .

II.A - Racines carrées de la matrice .

Q 13. Rappeler sans démonstration la description des matrices de .
éè
Q 14. Déterminer les racines carrées de appartenant à . Que peut-on conclure quant au nombre de racines carrées de ?

II.B - Existence et unicité d'une racine carrée symétrique positive.

Q 15. Rappeler sans démonstration la condition nécessaire et suffisante portant sur le spectre d'une matrice symétrique pour qu'elle soit positive.
Q 16. Soit . Déterminer une matrice telle que .
Q 17. Montrer que est la seule racine carrée de appartenant à . On note alors l'unique racine carrée symétrique positive de .
II.C - Une méthode de Héron d'Alexandrie matricielle.
Soit . On note les valeurs propres de comptées avec multiplicité. On rappelle que, d'après le théorème spectral, il existe une matrice telle que
On rappelle de plus que, pour tout réel , la suite définie en sous-partie I.B, est à valeurs strictement positives et converge vers . On pose alors:
Q 18. Montrer, par récurrence sur que, pour tout est bien définie et que
Q 19. En déduire que la suite converge vers .

III Méthode de Newton numérique.

Soit un intervalle ouvert non vide de et une fonction de classe sur telle que ne s'annule pas sur .
III.A - Convergence de la méthode de Newton.
Q 20. Que dire du nombre du nombre de points d'annulation de sur ?
On suppose qu'il existe tel que . Pour tout , on pose .
Soit une suite telle que
L'objectif de cette sous-partie III.A est de montrer qu'il existe tel que et tel que, si , alors converge vers .
Q 21. Soit tel que . Justifier que et sont bien définis et que .
On note .
Q 22. Justifier qu'il existe tel que .
Dans la suite de cette sous-partie III.A, on fixe tel que .
Q 23. On suppose que et . À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que
puis en déduire que .
Q 24. Montrer que, si , alors, pour tout et conclure.

III.B - Une implémentation en Python.

Q 25. On désigne dans cette question par df la fonction Python représentant . Écrire une fonction Python newton ( ) prenant en arguments le réel et les fonctions et et renvoyant, si la suite converge, une valeur approchée de et la valeur None si diverge.
On pourra convenir ici que la suite converge si on trouve un tel que , et qu'elle diverge sinon.

IV Décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford et calcul de racine carrée.

On dit qu'une matrice est nilpotente s'il existe tel que .
Dans toute cette partie IV, on fixe . On note les valeurs propres deux à deux distinctes de (avec ). On définit alors
On note le polynôme dérivé de .
Pour tout polynôme , on note et on pose
On admet alors et on pourra utiliser librement que :
  • si , alors et commutent, et et appartiennent à ;
  • si et si , alors .

IV.A - Une méthode de Newton matricielle.

Q 26. Montrer que, pour toute racine complexe de , la matrice est inversible. En déduire que est inversible.
Q 27. Montrer que le polynôme caractéristique de divise . En déduire que est nilpotente. Grâce à ces résultats, on peut définir la suite de matrices en posant:
On admet que, pour tout :
  • est bien définie et appartient à ;
  • il existe telle que ;
  • la matrice est inversible.
Q 28. Montrer que la suite est stationnaire.
Q 29. Montrer que, pour tout , les matrices et commutent.
Q 30. On note la limite de . Montrer que est diagonalisable.
Q 31. On pose . Justifier que et commutent et que est nilpotente.

IV.B - Un calcul de racine carrée pour certaines matrices réelles trigonalisables

Q 32. En utilisant le développement limité en 0 de la fonction , montrer qu'il existe un polynôme tel que divise .
Q 33. En déduire l'expression d'une racine carrée de lorsque est une matrice nilpotente.
Pour les questions suivantes, on suppose que est à coefficients réels et trigonalisable dans et que le spectre de est inclus dans .
On considère alors les matrices et introduites dans la sous-partie IV.A.
Q 34. Justifier que et sont à coefficients réels et que est diagonalisable dans .
Q 35. Montrer que le spectre de est inclus dans .
Q 36. Justifier que la méthode de Héron d'Alexandrie de la sous-partie II.C peut être appliquée à la matrice afin d'obtenir une racine carrée de . En déduire l'expression d'une racine carrée de .
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