Centrale Mathématiques 1 PC 2020

L'objet du problème est de définir et étudier la notion de matrice symplectique, et d'établir des résultats de réduction dans certains cas particuliers.

Dans tout le problème, désigne un entier naturel non nul et la matrice carrée de définie par blocs par

où est la matrice nulle à lignes et colonnes et est la matrice identité de même taille.
Si et sont deux entiers naturels non nuls, la matrice transposée de toute matrice de est notée .
On dit qu'une matrice de est symplectique si et seulement si . On désigne par l'ensemble des matrices symplectiques de taille .

On note le groupe orthogonal de l'ensemble des matrices symétriques de et l'ensemble des matrices antisymétriques de .

Soit un -espace vectoriel. On appelle forme bilinéaire sur toute application définie sur et à valeurs dans telle que pour tout ,

soient toutes les deux linéaires sur .
Soit une forme bilinéaire ; est dite alternée si et seulement si, pour tout est dite antisymétrique si et seulement si, pour tout .

Si et sont deux entiers naturels, on note le nombre qui vaut 1 si et qui vaut 0 sinon.
On note la matrice colonne élémentaire dont le seul coefficient non nul vaut 1 et est placé sur la ligne numéro .
On munit du produit scalaire canonique noté et de la norme euclidienne associée, notée . En identifiant et , on a, pour tous et dans ,

Si désigne l'orthogonal de , c'est-à-dire l'ensemble des éléments de tels que . Si est un sous-espace vectoriel de désignera l'orthogonal de , c'est-à-dire l'ensemble des éléments de qui sont orthogonaux à tous les éléments de .

Si est une matrice de , on notera l'ensemble des valeurs propres réelles de .
Si est une matrice de et est une de ses valeurs propres, on notera le sous-espace propre de associé à la valeur propre .

Soit in espace vectoriel et des vecteurs de . On note l'espace vectoriel engendré .

Soit une matrice de et une partie de . On dit que est stable par si et seulement si, pour tout dans est un élément de .

Q 1. Dans cette question uniquement, est un entier naturel non nul quelconque. Déterminer et montrer que .
Dans la suite de cette partie, .
Q 2. Montrer qu'une matrice de taille est symplectique si et seulement si son déterminant est égal à 1 .
Q 3. Soit une matrice orthogonale de taille . On note et les deux colonnes de . Montrer l'équivalence

Q 4. Soit de norme 1. Montrer que la matrice carrée constituée des colonnes et est à la fois orthogonale et symplectique.
Q 5. Soit une matrice de taille symétrique et symplectique. Montrer que est diagonalisable et que ses valeurs propres sont inverses l'une de l'autre. Montrer qu'il existe une matrice à la fois orthogonale et symplectique telle que soit diagonale.
Q 6. Déterminer les matrices de taille à la fois antisymétriques et symplectiques et montrer qu'elles ne sont pas diagonalisables dans .

Soit une matrice antisymétrique et l'application de dans telle que

(On identifie de nouveau et .)
Q 7. Montrer que est une forme bilinéaire sur .
Q 8. En calculant de deux manières , montrer que est alternée. Montrer de même que est antisymétrique.

Dans toute la suite du sujet, .
Q 9. Pour tout et pour tout , montrer l'égalité

Q 10. Montrer que pour tout (on pourra commencer par le cas où puis généraliser).
Q 11. Montrer que pour tout et calculer .
Q 12. Si , on note l'ensemble des vecteurs de tels que . Montrer que .
Q 13. Soit une matrice symplectique et orthogonale dont les colonnes sont notées . Montrer que, pour tout ,

Q 14. Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout .
Q 15. Sous les mêmes hypothèses, montrer que, pour tout .

Q 16. Montrer que le déterminant d'une matrice symplectique vaut soit 1 soit -1 .
Q 17. Montrer que l'inverse d'une matrice symplectique est une matrice symplectique.
Q 18. Montrer que le produit de deux matrices symplectiques est une matrice symplectique. L'ensemble est-il un sous-espace vectoriel de ?

Le but de cette partie est de montrer que, si , il existe tel que est diagonale de coefficients diagonaux avec pour tout .

Soit .
Q 19. Montrer que si est valeur propre de est également valeur propre de . Donner un vecteur propre associé.
Q 20. Soit et . Soit ( ) une base de . Montrer que ( ) est une base de et que

Q 21. Soient des vecteurs de . Soit . Montrer l'implication

Q 22. Dans cette question . Montrer que est de dimension paire et qu'il existe une base de orthonormée de la forme ( ) où est la dimension de .
Q 23. Qu'en est-il pour ?
Q 24. Démontrer la propriété annoncée au début de la partie.

Dans la fin de cette partie, on note la matrice

Q 25. Montrer que .
Q 26. Construire une matrice orthogonale et symplectique telle que soit diagonale.

Soit . Soit l'application linéaire canoniquement associée à .
Q 27. Montrer l'égalité .
Q 28. Montrer qu'il existe tel que soit diagonale de coefficients diagonaux avec pour tout .

Dans toute la suite de cette sous-partie, désigne un vecteur propre de de norme 1 associé à une certaine valeur propre .

Q 29. Montrer que et sont des vecteurs propres de et donner les valeurs propres associées à chacun de ces vecteurs.
Q 30. Dans cette question et dans la suite, on note . Montrer que est stable par et par .
Q 31. Montrer que toutes les valeurs propres de sont strictement négatives.
Q 32. Justifier que si est un espace vectoriel de dimension 4. Montrer que, dans ce cas,

est une base orthonormée de . Donner alors la matrice de l'application induite par sur dans la base obtenue.
Q 33. Montrer que est stable par et par .

Q 34. Montrer qu'il existe un entier naturel non nul et des sous-espaces vectoriels de , notés tels que
(a) ;
(b) est stable par et par ;
(c) est stable par et par ;
(d) ;
(e) ;
(f) , la matrice de l'application induite par sur dans une certaine base est de la forme

Dans la fin de cette partie, on note la matrice

Q 35. Calculer .
Q 36. Déterminer un réel et une matrice tels que