Le but des deux premières parties est d'étudier l'existence d'une fonction de classe de dans , dont on a fixé a priori les valeurs des dérivées successives en 0 . Les deux parties suivantes sont consacrées à des classes de fonctions pour lesquelles les dérivées successives en 0 de déterminent complètement la fonction .
On note l'ensemble des fonctions de dans nulles en dehors d'un segment (qui dépend de la fonction considérée dans ). On notera ou les coefficients binomiaux.

Soit une suite complexe. On cherche dans cette partie des fonctions , qui sont somme d'une série entière sur un intervalle pour au moins un réel et vérifiant .
Si pour tout , avec , donner une expression de sur , et en déduire en fonction de pour tout .
I. - Dans les exemples suivants, proposer une solution , en précisant une valeur de convenable :
I.B.1) .
I.B.2) Pour tout pair, , et pour tout impair, .
I. - Pour la suite définie par , montrer qu'aucune fonction du type considéré dans cette partie n'est solution du problème.

Soit la fonction de dans définie par
II.A.1)
a) Montrer que pour tout naturel il existe un polynôme tel que

Pour tout entier , exprimer en fonction de et .
b) En déduire que, pour tout entier naturel non nul, est de degré .
c) Écrire dans le langage de calcul formel de votre choix un algorithme d'argument un entier renvoyant la valeur de en fonction d'une indéterminée .
On pourra utiliser la commande renvoyant, à partir d'une expression et d'une variable , la valeur de la dérivée de cette expression par rapport à cette variable que l'on pourra noter ou selon le langage choisi.

a) Montrer que pour tout entier naturel

b) En déduire que .

Soit la fonction de dans définie, pour tout réel .
II.B.1) Montrer que est de classe sur , constante sur et sur .
II.B.2) Soit la fonction de dans définie par pour tout réel .
a) Montrer que est de classe sur et que pour tout .
b) Montrer que est nulle en dehors de et tracer sommairement l'allure de son graphe.
c) Justifier pour tout entier naturel non nul l'existence du réel

Soit une suite complexe. On définit pour tout entier naturel une fonction par

où .
II.C.1)
a) Montrer que pour tout entier naturel , la fonction est de classe sur .
b) Montrer que est nulle hors du segment .
II.C.2) Soit et des entiers naturels tels que .
a) Montrer que

b) En déduire que .
c) Montrer que, pour tout réel tel que , on a .
d) Montrer que, pour tout réel tel que , on a .
II.C.3) Déduire des questions précédentes que pour ,

II.C.4) En considérant , montrer qu'il existe une fonction de classe sur telle que (théorème de Borel).

On considère une suite de réels strictement positifs, décroissante de limite nulle, et telle que la série converge.

On pose pour tout réel

III.A.1) Montrer que est nulle en dehors de , préciser sa valeur sur et , justifier sa continuité et tracer rapidement son graphe.
III.A.2) On pose .
a) Pour tout réel , montrer que .
b) Montrer que est lipschitzienne de rapport sur .

On pose pour tout réel

III.B.1) Montrer que est de classe sur et calculer pour tout réel.
III.B.2) Montrer que est nulle en dehors de .
III.B.3) Montrer que et .
III.B.4) Montrer que est lipschitzienne de rapport sur .

On définit par récurrence une suite de fonctions par et définies comme dans les questions précédentes et, pour tout naturel et tout réel,

III.C.1) Montrer que est de classe sur et calculer pour tout réel.
III.C.2) Montrer que est nulle en dehors de .
III.C.3) Pour tout , montrer que et que, si , on a .
III.C.4) Montrer que est lipschitzienne de rapport sur .
III.C.5) Montrer que pour tout naturel

On considère la série de fonctions où pour tout .

a) Pour tout entier et tout réel , montrer que .
b) En déduire la convergence normale de la série de fonctions .

Pour tout réel , on note

a) Montrer que pour tout réel, converge vers une limite que l'on notera et qui vérifie .
b) Pour tout réel réel, montrer que .
c) Montrer que est lipschitzienne de rapport sur .
d) Montrer que est nulle en dehors du segment .

a) Montrer que

b) En déduire que n'est pas constante nulle sur .

a) Montrer que converge normalement sur .
b) Trouver un lien entre et .
c) En déduire que est de classe sur .
d) Montrer que pour tout réel, .

a) Montrer que converge normalement sur .
b) Trouver un lien entre et .
c) En déduire que est de classe sur .
d) Montrer que pour tout réel, .

On considère une suite réelle vérifiant les trois conditions :

On note l'ensemble des fonctions de classe pour lesquelles il existe deux constantes et (dépendantes de ) telles que

L'ensemble est dit classe associée à la suite .
La classe est dite quasi-analytique si

IV.A - Quelques propriétés d'une classe
IV.A.1) Montrer que si et , alors la fonction appartient aussi à .
IV.A.2) Vérifier que est un espace vectoriel sur .
IV.A.3)
a) Montrer que pour tous tels que , on a . On pourra étudier, pour fixé, la monotonie de la suite .
b) En déduire que le produit de deux éléments quelconques de est un élément de .

On note la suite définie par pour tout .
IV.B.1) Montrer que la suite vérifie les conditions IV.1, IV. 2 et IV.3.
IV.B.2) Soit ; on fixe tels que

a) Dans cette question et la suivante, on suppose que le réel vérifie . Montrer que

b) En déduire que .
c) Montrer que est une classe quasi-analytique.

IV.C.1) Montrer que si est quasi-analytique, alors .
IV.C.2) Montrer la réciproque; on pourra montrer, lorsque n'est pas quasi-analytique, l'existence d'une fonction dans , nulle sur , puis considérer pour un bien choisi.
- On se donne une suite réelle vérifiant les trois conditions IV.1, IV. 2 et IV. 3 et on considère les assertions :

Pour tout , on note .
IV.D.1) Exprimer en fonction de et en déduire que IV. IV.5.
IV.D.2) Démontrer en utilisant la partie III que IV. IV.6.

On peut montrer à l'aide d'outils mathématiques plus élaborés que IV. IV.4, ce qui donne une caractérisation des classes quasi-analytiques. Ce résultat constitue une partie du théorème de Denjoy-Carleman.