Centrale Mathématiques 1 PC 2010

Les calculatrices sont autorisées.

Le but de ce problème est de faire établir le résultat suivant d'approximation polynomiale.
Une fonction continue sur le segment y est de classe si et seulement si il existe une suite de fonctions polynomiales, où est de degré , telle que sup tende vers 0 pour plus vite que n'im-

porte quelle puissance de .
L'approche proposée consiste à se ramener à des résultats connus sur l'approximation des fonctions périodiques par leurs séries de Fourier, au moyen des polynômes de Tchebychev, dont on étudiera les principales propriétés dans la partie I.
La partie II établit certaines inégalités dues à Markov et à Bernstein, permettant de majorer la norme infinie de la dérivée d'une fonction polynomiale sur un segment à l'aide de la norme infinie de la fonction polynomiale sur le même segment.
La partie III établit le résultat annoncé concernant l'approximation à l'aide, en particulier, des inégalités de Markov et de Bernstein.

On rappelle qu'une fonction polynomiale non nulle, de degré , est une fonction définie sur un intervalle de de la forme

où sont des nombres réels et un nombre réel non nul, nommé «coefficient dominant de .

I.A - Pour tout entier , on pose .
I.A.1)
a) Montrer que les fonctions sont définies sur un même domaine à préciser.
b) Calculer et pour tout .
c) Calculer et pour tout .
d) Préciser les propriétés de parité de en fonction de .
I.A.2) Calculer pour tout et tout .
I.A.3) Déduire de ce qui précède que se prolonge à en une fonction polynomiale unique, dont on précisera le degré ainsi que le coefficient dominant.
Dans la suite, on notera toujours la fonction prolongée.
I.A.4) Écrire une fonction tchebychev qui prend en argument un nombre entier et qui renvoie l'affichage de l'expression . On utilisera le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel usuellement utilisé.

Dans toute la suite de ce problème, on posera . Pour , on notera la fonction polynomiale vérifiant pour tout .
I.A.5) Déterminer deux réels et tels que

I.B -
I.B.1) Soit .
a) Montrer que la fonction est de classe sur .
b) Pour , donner une expression simple de . On justifiera soigneusement le calcul.
I.B.2) Soit .
a) Montrer que quand .
b) En déduire le calcul de et de .
I.B.3) Montrer que, pour tout et tout réel, on a la relation suivante:

I.C - On note l'espace vectoriel des fonctions polynomiales sur et, pour tout , on note le sous-espace vectoriel de formé des fonctions polynomiales de degré au plus .
I.C.1) Montrer que, pour tout couple de , la fonction :

est intégrable sur l'intervalle .
I.C.2) La question précédente montre que l'application suivante est bien définie :

Montrer que définit un produit scalaire sur .
Dans la suite, on suppose que l'espace est muni de ce produit scalaire, que l'on note (.|.).
I.C.3)
a) Montrer qu'il existe une suite de fonctions polynomiales telle que, pour tout soit de degré et de coefficient dominant 1 , et que, pour tout soit orthogonale à tous les éléments de .
b) Montrer qu'il existe une unique famille de fonctions polynomiales vérifiant les conditions suivantes :
i) la famille est orthogonale pour le produit scalaire ;
ii) pour tout est de degré et de coefficient dominant 1 .
I.C.4) Calculer pour tout . Que peut-on en déduire?

II.A -
II.A.1) On cherche à montrer que l'inégalité est satisfaite pour tout et tout .
a) Montrer que pour tout et tout .
b) Montrer que, pour tout , on a .
c) En déduire que :

d) Conclure.
e) Pour quelles valeurs de a-t-on ?
II.A.2) Montrer que pour tout ,

Cette borne supérieure est-elle atteinte? Dans l'affirmative, préciser pour quelles valeurs de .
II.A.3) Soit . Montrer que la fonction polynomiale admet exactement zéros deux à deux distincts et appartenant à . Pour , on notera le -ième zéro de dans l'ordre croissant. Donner la valeur de .
II.A.4) Soit et . Montrer que :

II.A.5) Soient et .
a) Montrer que :

b) En déduire que

II.B.1) Montrer que, pour tout , on a

II.B.2)
a) Soient et tel que .

Montrer que

(On distinguera trois cas selon que appartient à l'un des intervalles , ou ).
b) En déduire que pour tout et pour tout , on a :

II.B.3) Soit un polynôme trigonométrique de la forme

où .
a) Soit . Montrer qu'il existe une fonction polynomiale de degré ( ) tels que :

b) Soit .

Montrer qu'il existe une fonction polynomiale tel que, pour tout , on ait:

c) En déduire que :

d) Montrer que :

Soit .
Montrer que :

(On pourra faire intervenir le polynôme trigonométrique ).

Dans toute cette partie, on note l'espace vectoriel des fonctions continues sur à valeurs réelles.
On le munit de la norme infinie :

On note le sous-espace de constitué des fonctions de classe sur .
Pour tout entier désigne l'ensemble des restrictions à des éléments de .
Pour toute fonction , on pose

On dit qu'une suite de nombres réels est à décroissance rapide si pour tout entier , la suite est bornée. On note l'ensemble des suites de nombres réels à décroissance rapide.
III.A - Soit une suite de et .
III.A.1) Montrer que la série numérique est convergente.

On pose, pour ,

III.A.2) Montrer que la suite est à décroissance rapide.
III.B - Soit une suite de .
III.B.1) Montrer que, pour tout , la série

est convergente.
Dans la suite de cette question III.B, on définit la fonction sur le segment par:

III.B.2) Montrer que est de classe sur .
III.B.3) Montrer que la suite est à décroissance rapide.

Les notations suivantes seront valables jusqu'à la fin du sujet.
Pour une fonction , on note la fonction -périodique suivante :

On rappelle que les coefficients de Fourier de sont donnés par les formules suivantes, pour tout entier :

III.C - Soit .
III.C.1) Montrer que la suite est à décroissance rapide. Que vaut ?
III.C.2) Montrer que la série de Fourier de converge normalement vers .
III.C.3) Montrer qu'il existe une suite à décroissance rapide telle que

pour tout . Donner une expression de en fonction de et de .
III.D - Soit .

On suppose que la suite est à décroissance rapide.
III.D.1) Montrer qu'on peut construire une suite de fonctions polynomiales telle que :