Centrale Mathématiques 1 PC 2007

Dans tout le problème, on notera la fonction définie sur par :

I.A.1) Montrer que pour tout entier naturel , la fonction est intégrable sur . On note .

On admettra dans toute la suite de ce problème que .
I.A.2) Déterminer .
I.A.3) Lorsque , donner une relation de récurrence liant et . En déduire une expression de en fonction de .
I.B - Montrer que pour tout , l'intégrale est convergente et déterminer sa valeur en fonction de .
On pourra considérer la forme canonique du trinôme .
I.C -
I.C.1) Le réel étant fixé, pour tout , on pose .

Calculer
I.C.2) Montrer à l'aide du théorème de convergence dominée que pour tout ,

I.C.3) Retrouver la valeur de obtenue précédemment.

Dans toute la suite du problème, on note l'ensemble des fonctions continues sur à valeurs réelles, telles qu'il existe un réel positif et un réel strictement positif vérifiant : .
II.A - Démontrer que muni des lois + et usuelles est un espace vectoriel sur , qui contient .
II.B - Soient et deux éléments de . On note l'application définie, pour tout réel pour lequel la formule a un sens, par

II.B.1) Démontrer que est définie sur .
II.B.2) Démontrer que .
II.B.3) Déterminer .
II.B.4) Démontrer que appartient à (on utilisera le résultat de la question précédente).
II.C - Soit . On définit l'application par : .
II.C.1) Montrer que est bien définie sur .
II.C.2) Montrer que est de classe sur et déterminer une expression de et à l'aide d'intégrales.
II.D - Dans cette section seulement, on admet le résultat suivant :

Soit une application continue de dans telle qu'il existe deux applications et continues sur et intégrables sur avec :

alors et sont convergentes et ces deux intégrales doubles sont égales.
Soient et deux éléments de .
II.D.1) Démontrer qu'il existe une constante telle que pour tout couple

II.D.2) Démontrer la formule :

II.D.3) Démontrer la relation, pour tout :

on pourra utiliser l'égalité

Dans la suite de ce problème, on considère le sous ensemble de dont les éléments sont les fonctions telles que . On notera que la fonction de la partie est un élément de . À toute fonction , on associe la suite de fonctions définie par la récurrence suivante :

On remarquera que la fonction est alors élément de d'après II .
L'objectif est d'étudier certaines propriétés de cette suite de fonctions, dans un premier temps sur des exemples puis dans le cas général.

III.A - Soit un élément de .
III.A.1) Démontrer que la suite est une suite d'éléments de .
III.A.2) Exprimer, pour tout et pour tout en fonction de et de .
III.B - Dans cette question on étudie la suite associée à la fonction étudiée dans la partie I (on a donc posé ).
III.B.1) Déterminer une constante telle que .
III.B.2) Déterminer une constante telle que .
III.B.3) Déterminer en fonction de .
III.C - Soit la fonction définie sur par :
III.C.1) Démontrer que .
III.C.2) Montrer que la fonction est paire. Donner pour l'expression de en fonction des valeurs de : on distinguera deux intervalles pour .
III.C.3) Démontrer que est nulle en dehors d'un intervalle que l'on précisera.
III.C.4) Déterminer l'expression de en fonction de .
III.C.5) Déterminer en fonction de .

Soit un élément de . On note pour :

IV.A.1) Montrer que la fonction possède un développement limité à l'ordre 2 dont on précisera les coefficients à l'aide de et .
IV.A.2) En déduire que et .
IV.B - On suppose dans cette question que la fonction est telle que .

Déterminer la limite de la suite .