Centrale Mathématiques 1 PC 2004

Dans tout le problème, désigne une suite de complexes et la série entière associée, dont le rayon de convergence est supposé nôn nul et fini.
On note l'ensemble des complexes de module tels que est convergente.
On appelle cercle unité l'ensemble des complexes de module 1 : un complexe z appartient au cercle unité si et seulement s'il existe un réel x appartenant à l'intervalle tel que .
D'autre part on note: , et , désigne l'ensemble des entiers naturels vérifiant : .
On étudie différentes séries entières pour lesquelles l'ensemble prend diffé rentes formes.
Dans le cas où est un cercle, on propose d'observer différents comportements de la fonction somme de la série entière sur ce cercle.

Les résultats de cette partie sont destinés à préparer les démonstrations des parties suivantes.
I.A - Montrer les inégalités :

I.B - Montrer que pour tout qui appartient à IR et pour tout couple d'entiers naturels ( ) tel que :

I.C - Soient et deux suites complexes.

On note la suite des sommes partielles de la série :

I.C.1) Montrer que pour tout couple d'entiers naturels ( ) tel que , on a:

I.C.2) On suppose que la suite est bornée et que la série est absolument convergente. Montrer que la série est convergente.
I.C.3) On suppose que la suite est bornée et que la suite est décroissante, convergente et de limite nulle.

Montrer quela série

I.D - Déduire des questions précédentes que pour tout qui appartient à IR , les séries

Que dire pour un réel qui appartient à ?

On se place dans le cadre des notations de l'introduction.
II.A - Soit définie pour tout par : .

Montrer que le rayon de convergence de la série entière est et qu'un complexe appartient à si et seulement si appartient à .
On se ramène ainsi à l'étude de séries entières de rayon de convergence égal à 1
II.B - On suppose dans cette question que est convergente et que .
II.B.1) Déterminer .
II.B.2) On note pour tout :

Montrer que la série de fonction converge uniformément sur I vers une fonction continue sur I .
II.B.3) Donner un exemple simple de série entière pour laquelle est le cercle unité.
II.C - Donner un exemple simple de série entière pour laquelle et est vide.

II.D.1) On suppose qu'il existe un complexe demodule 1 tel que soit semi-convergente (c'est-à-dire que est convergente mais ne converge pas absolument).
Montrer qu'alors .
II.D.2) Soit un complexe de module 1 . Si pour tout , mon-
tree que est le cercle unité privé d'un point à déterminer. II.D.3) Soit et p complexes distincts , tous de module 1 .

Construire un exemple de série entière pour laquelle est le cercle unité privé des p points .
II.D.4) On suppose que, pour tout .

Déterminer et .
La série est-elle convergente?

Dans cette partie, on définit la suite de la façon suivante:

III.A - Montrer que la série est divergente.
(On pourra par exemple chercher un équivalent de ).
III.B - Soit ( ) la suite des sommes partielles de la série numérique .
III.B.1) Pour , on note leplus grand entier naturel vérifiant: . On pose: .

Montrer que .
III.B.2) En déduire que la série est convergente.
III.C - Soit un complexe de module 1, avec non nul appartenant à I .
III.C.1) Calculer suivant les valeurs du naturel , et en déduire que la série est convergente.
III.C.2) Déduire des résultats précédents et de la partie I que la série est convergente.

IV.A - On veut montrer qu'il existe une constante réelle telle que pour tout entier naturel non nul et tout réel :

Soient et le plus grand entier naturel tel que .
IV.A.1) On suppose que . Montrer que:

IV.A.2) On suppose que . Montrer que:

On pourra notamment utiliser le résultat de la question I.C.1.
IV.A.3) Conclure.
IV.B - Soit et deux entiers naturels tels que : . Soit le polynôme défini par :

IV.B.1) Soit . Montrer que:

IV.B.2) En déduire qu'il existe une constante réelle telle que, pour tout couple de naturels ( ) tel que et tout complexe de module 1: .
IV.C - Pour tout entier naturel non nul j, on pose:

Vérifier que les intervalles ainsi définis sont disjoints deux à deux.

Pour toute la suite du problème, on pose pour tout naturel non nul: , et on définit les suites et dela façon suivante:

On étudie la série entière .
Pour tout et , on note

IV.D - Montrer que la suite de fonctions converge uniformément sur I vers une fonction continue que I'on notera F .
IV.E - Montrer que pour tout naturel n non nul et tout x appartenant à I :

IV.F - On veut montrer que la suite de fonctions converge également vers F sur I.
IV.F.1) Montrer que pour tout et tels que :

IV.F.2) En déduire qu'il existe une constante réelle telle que pour tout entier naturel j non nul, pour tout couple de naturels ( ), tels que et pour tout réel non nul appartenant à I :

IV.F.3) Soit . Vérifier que, pour entier naturel suffisamment grand, on a

En déduire que pour naturel suffisamment grand:

On considère maintenant le cas . Montrer, avec les mêmes conditions sur et , que

IV.F.4) Conclure.
IV.G - On note pour tout :

On veut prouver que la série de fonctions ne converge pas uniformément sur 1.
IV.G.1) Montrer que, pour tout entier naturel j non nul :

IV.G.2) Donner un équivalent simple de cette expression Iorsque j tend vers et conclure.
IV.H - Donner et .