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Centrale Mathématiques 1 PC 2003

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSéries et familles sommables
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Centrale
Année
2003
Filière
PC
Matière
Maths
Centrale PCCentrale 2003PC MathsMaths 2003
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MATHÉMATIQUES I

Plan du problème

Dans les préliminaires, on établit quelques généralités utiles par la suite sur les applications intégrables. Elles sont illustrées par la partie I et utilisées pour établir les résultats de la partie II. Dans les parties III et IV, on étudie le comportement asymptotique de quelques suites et séries en utilisant les idées qui précèdent.

Rappels et notations

  • Soient et deux fonctions de variable réelle et à valeurs réelles ne s'annulant pas au voisinage d'un élément , sauf éventuellement en ce point. et sont dites équivalentes en si et seulement si leur quotient tend vers 1 en . On notera alors en . est dite négligeable devant en si et seulement si le quotient tend vers 0 en . On notera alors en .
  • Soient et deux suites réelles de termes non nuls à partir d'un certain rang. Les suites ( ) et ( ) sont dites équivalentes si et seulement si la suite ( ) définie pour assez grand par converge vers 1 ; on note alors . La suite ( ) est dite négligeable devant ( ) si et seulement si ( ) converge vers 0 ; on note alors .
  • Pour une série de nombres réels, on note la suite de ses sommes partielles :
Si de plus est convergente, on note la suite de ses restes:
  • ln désigne le logarithme népérien.

Filière PC

Préliminaires

Soit et et deux applications continues par morceaux sur à valeurs strictement positives.
  1. On suppose que est intégrable sur .
    a) Montrer qu'en , la relation entraîne
b) Montrer qu'en , la relation entraîne (on justifiera l'intégrabilité de sur les intervalles [ considérés).
2) On suppose que n'est pas intégrable sur .
a) Montrer qu'en , la relation entraîne .
Montrer à l'aide d'exemples que l'on ne peut en général rien dire de l'intégrabilité de sur .
b) Montrer qu'en , la relation entraîne .
Que dire de l'intégrabilité de sur ?

Partie I -

I.A -

I.A.1) Déterminer un équivalent simple de en .
I.A.2) En déduire un équivalent simple de en .

I.B -

I.B.1) À l'aide d'une intégration par parties, montrer qu'en , on a
I.B.2) Plus généralement, si est un entier naturel, établir le développement asymptotique suivant en :

I.C -

I.C.1) Justifier le développement asymptotique suivant en :
I.C.2) Écrire, dans le langage associé au logiciel de calcul formel utilisé, une procédure permettant d'obtenir le terme d'indice du développement asymptotique en (par rapport aux ) de :
(on indiquera le logiciel de calcul formel utilisé).

Partie II -

Soit un nombre réel et une application de classe sur à valeurs strictement positives. On suppose que le quotient tend vers une limite finie en .
II.A - Montrer à l'aide des préliminaires qu'en tend vers (on peut distinguer le cas ).
II.B - On suppose dans cette question .
II.B.1) Montrer que est intégrable sur [ [ .
II.B.2) Montrer qu'en , on a
(on peut considérer et utiliser les préliminaires).
II.C - On suppose dans cette question .
II.C.1) Étudier l'intégrabilité de sur .
II.C.2) Montrer qu'en , on a
II.C.3) Donner un exemple d'application de classe sur à valeurs
strictement positives telles qu'en le quotient tende vers une limite , mais telle que l'on n'ait pas .

II.D -

II.D.1) Étudier l'intégrabilité sur des applications , selon
.
II.D.2) Étudier, à l'aide des questions précédentes, l'intégrabilité sur [2, [ des applications , selon et .
II.E - Que conclure quant à l'intégrabilité de sur dans le cas ?

Partie III -

Dans cette partie, on considère une application de classe sur , à valeurs strictement positives.
On suppose qu'en tend vers .
On considère la série de terme général . On note la suite de ses sommes partielles et la suite de ses restes quand la série converge.
On associe à deux applications et continues par morceaux sur et définies par:
pour tout et tout et .
On pose enfin pour tout .
III.A - Soit fixé.
Montrer l'existence de tel que pour tout entier et tout , on ait:
(on peut considérer ).
III.B - On suppose dans cette question que n'est pas nul. Déduire de III.A que lorsque tend vers , on a
III.C - On suppose encore dans cette question que n'est pas nul.
III.C.1) Exprimer pour les intégrales et à l'aide de .
À l'aide des préliminaires, établir les résultats suivants :
III.C.2) Si est intégrable sur , alors la série de terme général converge et on a quand vers ,
III.C.3) Si n'est pas intégrable sur , alors la série de terme général diverge et on a quand vers ,
III.D - On suppose à présent que .
Montrer alors que la série de terme général est convergente si et seulement si est intégrable sur , avec en cas de convergence et en cas de divergence.

Partie IV -

IV.A - À l'aide de ce qui précède, déterminer un équivalent simple des sommes suivantes quand tend vers :
IV.A.1)
IV.A.2)
IV.A.3)
IV.B - Soient et deux suites réelles strictement positives équivalentes.
On note pour tout ,
Dans le cas où ces séries convergent, on note pour tout ,
IV.B.1) Montrer que si converge, alors quand tend vers , on a .
IV.B.2) Montrer que si diverge, alors quand tend vers , on a .
IV.C - Déduire de ce qui précède les résultats suivants lorsque tend vers : IV.C.1)
IV.C.2)
où et sont deux constantes qu'on ne demande pas d'expliciter.
IV.C.3) Que vaut ?

FIN •••

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