Centrale Mathématiques 1 PC 2000

Soit l'espace vectoriel réel des fonctions continues à valeurs réelles définies sur l'intervalle , que l'on munit du produit scalaire

et des normes

Pour tout , on note (respectivement ) la fonction définie sur [ ] par la formule (respectivement ).
Pour tout , on note la fonction définie sur -périodique, paire, coïncidant avec sur l'intervalle et la fonction définie sur -périodique, impaire, coïncidant avec sur l'intervalle et vérifiant la condition suivante : en tout point de IR

I.A.1) On considère la fonction définie sur par la formule

Représenter graphiquement les fonctions et .
I.A.2) Soit un élément de . Montrer (soigneusement) que la fonction est définie et continue, et que la fonction est définie et continue par morceaux. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction soit continue.

I.B.1) Soit un élément de .

Montrer que sur l'intervalle , le problème aux limites

admet une solution et une seule notée .
Indication : si on désigne par

la primitive de sur s'annulant en 0 , on pourra exprimer à l'aide d'intégrales comportant .
L'objet du problème est d'étudier l'application .
I.B.2) Déterminer précisément lorsque est la fonction définie au I.A.1) et en donner une représentation graphique.

II.A - Montrer que l'application est un endomorphisme de . Déterminer son noyau et son image.
II.B - Pour tout entier naturel , calculer .
II.C - Vérifier que, pour tout couple ( ) d'éléments de ,

Que peut-on dire de ( ) lorsque et sont des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes ?
II.D - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de .
II.E - On note .
II.E.1) Montrer que est une famille orthonormale.
II.E.2) Soit un élément de . Pour tout , on pose

Que représente pour la fonction -périodique ?
En conclure que: .
Déduire de là que, si est orthogonal à , la fonction est nulle.
II.F - On note l'ensemble des lorsque décrit .
II.F.1) La famille est-elle orthonormale ?
II.F.2) Pour tout , on pose

Que peut-on dire si est orthogonal à ?

III.A - Soit un élément de . En écrivant la formule de TAYLOR avec reste intégrale à l'ordre 1 entre 0 et puis entre 0 et , montrer que, pour tout ,

III.B - Montrer que est l'unique fonction définie sur le carré séparément continue en et en satisfaisant à la condition

III.C.1) Démontrer que la fonction admet un maximum atteint en un point unique de et déterminer et (pour fixé dans , on pourra commencer par étudier la fonction sur ).
III.C.2) En déduire que, pour tout ,

III.C.3) En considérant la suite où

et en calculant et montrer que l'inégalité (1) ne peut être améliorée.
III.D -
III.D.1) Prouver que, pour tout et tout ,

Conclure que

III.D.2) Soient un élément de et une suite d'éléments de telle que

Prouver que la suite converge uniformément sur [ ] vers la fonction .
III.D.3) Application : prouver que, pour tout ,

et que la série du second membre converge normalement sur .
En déduire que pour tout couple de points de ,

III.D.4) Déduire de la question précédente que pour tout et préciser les fonctions pour lesquelles il y a égalité.

III.E.1) A l'aide du II.F donner une nouvelle expression de comme somme d'une série de fonctions.
III.E.2) En déduire une nouvelle écriture de comme somme d'une série de fonctions, en utilisant la famille ( ).

On définit la suite par la condition initiale et la relation de récurrence

IV.A - On pose, pour tout et tout ,

IV.A.1) Démontrer que la série du second membre converge normalement sur l'intervalle .
IV.A.2) Prouver que , pour tout et tout .
IV.B - Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de .

IV.C.1) Soit un élément de . Montrer que la suite de fonctions converge uniformément sur vers une fonction que l'on déterminera ; (il pourra être utile d'étudier le comportement de la suite

IV.C.2) Donner l'expression explicite de la limite de ( ) lorsque est la fonction définie au I.A.1).