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Centrale Mathématiques 1 MP 2021

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementSéries entières (et Fourier)Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensSuites et séries de fonctionsTopologie/EVN
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Centrale MPCentrale 2021MP MathsMaths 2021
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La loi du demi-cercle

Notations

  • Pour tous entiers naturels et tels que on note l'ensemble .
  • Pour tout entier naturel tel que , on note l'ensemble des matrices à lignes et colonnes à coefficients réels, l'ensemble des matrices symétriques et à coefficients réels de taille et l'ensemble des matrices réelles orthogonales de taille .
  • Pour toute matrice symétrique réelle on note ses valeurs propres rangées dans l'ordre décroissant.
  • On note la transposée d'une matrice .
  • Pour tout , on note la matrice de la base canonique de dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé sur la -ème ligne et la -ième colonne qui vaut 1 .
  • Pour toute matrice , on note sa norme euclidienne canonique.
  • Dans tout le problème, on note ( ) un espace probabilisé. Toutes les variables aléatoires considérées sont définies sur .
  • Étant donnée une variable aléatoire discrète à valeurs réelles admettant une espérance, on note son espérance. Si admet une variance, on note sa variance.

Problématique

En essayant d'expliquer la répartition des niveaux d'énergie des noyaux des atomes lourds, Eugene Wigner a été amené, dans les années 1950, à étudier le spectre de matrices symétriques réelles aléatoires de grande taille. La figure 1 montre un histogramme qui représente la répartition des valeurs propres d'une matrice symétrique réelle de taille constituée de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, d'espérance nulle et de variance égale à 1 .
Figure 1
On voit que les valeurs propres se répartissent suivant un profil en demi-cercle de rayon . En normalisant par un facteur on obtient le profil d'un demi-cercle de rayon 2 .
Plus précisément, on considère une famille de variables aléatoires discrètes réelles telles que
  • pour tout ;
  • les variables aléatoires sont de même loi, d'espérance nulle et de variance 1;
  • pour , les variables aléatoires , pour , sont mutuellement indépendantes.
Pour tout et pour tout , on note la matrice .
Pour tout , on note les valeurs propres de .
On définit ainsi, pour et , des variables aléatoires réelles discrètes sur ( ).
On se propose de montrer le résultat suivant :

Loi du demi-cercle
Pour toute fonction , continue et bornée,
Dans la partie I, on établit une inégalité portant sur les valeurs propres d'un couple de matrices symétriques. La partie II est consacrée à la résolution d'un problème de dénombrement qui est utilisée dans la partie III où la loi du demi-cercle est démontrée pour des variables aléatoires uniformément bornées. Dans la partie IV, on établit la loi du demi-cercle dans le cas général en utilisant les résultats des parties I et III.

I Inégalité de Hoffman-Wielandt

I. Soient et deux matrices de .
Q 1. Montrer que, pour tout dans et pour tous et dans , on a .
Q 2. On note et . Montrer qu'il existe une matrice orthogonale telle que .
Q 3. Montrer que
I.B - On note l'ensemble des matrices bistochastiques de , c'est-à-dire l'ensemble des matrices dont tous les coefficients sont positifs ou nuls et tels que pour tout .
On note
Q 4. Justifier que admet un minimum sur .
On se propose de montrer que ce minimum est atteint en la matrice identité.
Q 5. Soit tel que et . Montrer que, pour et pour ,
Q 6. Soient et une matrice différente de l'identité. On note le plus petit entier appartenant à tel que . Montrer qu'il existe une matrice telle que et pour tout .
Q 7. En déduire que

I. -

Q 8. En déduire que

II Dénombrement des mots bien parenthésés

Dans cette partie, on s'intéresse à des chaines de caractères constituées uniquement des deux caractères parenthèse ouvrante et parenthèse fermante. On dit qu'un mot est bien parenthésé s'il commence par une parenthèse ouvrante et qu'à toute parenthèse ouvrante est associée une (unique) parenthèse fermante qui lui est postérieure. Par exemple le mot
( ) ( ( ) )
est bien parenthésé. En revanche, le mot
())()
n'est pas bien parenthésé. Un mot bien parenthésé est ainsi forcément constitué d'un nombre pair de caractères, chaque parenthèse qui s'ouvre doit se refermer.
Pour tout entier , on note le nombre de mots bien parenthésés de longueur . On pose par commodité .

II.A -

Q 9. En énumérant les différents mots bien parenthésés de longueur 2, 4 et 6 , montrer que et déterminer .
Q 10. Montrer que, pour tout entier naturel . Que peut-on en déduire pour le rayon de convergence de la série entière ?
Q 11. Montrer par un raisonnement combinatoire que, pour tout entier ,
On peut remarquer qu'un mot bien parenthésé est forcément de la forme avec et deux mots bien parenthésés, éventuellement vides.
II.B - Pour tout , on pose .
Q 12. Montrer que, pour tout .
Q 13. Montrer que la fonction ne s'annule pas.
Q 14. Déterminer, pour tout , une expression de en fonction de .
Q 15. Déterminer le développement en série entière de la fonction . On écrira les coefficients sous la forme d'un quotient de factorielles et de puissances de 2 .
Q 16. Montrer que, pour tout entier naturel ,

III Loi du demi-cercle, cas uniformément borné

On suppose, uniquement dans cette partie, que les variables aléatoires sont uniformément bornées :
III.A - Pour tout entier naturel on pose
Q 17. Pour , que vaut ?
Q 18. En utilisant le changement de variable , calculer .
Q 19. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que, pour tout entier naturel ,
Q 20. En déduire que
III. B - Soit un entier naturel. On se propose de montrer que
où est la puissance -ième de .
Q 21. Justifier que la variable aléatoire admet une espérance et que
On appelle cycle de longueur à valeurs dans , tout -uplet d'éléments de . Les éléments sont appelés sommets du cycle . On dit aussi que le cycle passe par ces sommets. On note le nombre de sommets distincts du cycle .
On appelle arêtes du cycle les couples non ordonnés (l'ordre des deux éléments de chaque couple n'est pas significatif) .
Par exemple est un cycle de longueur 6 dans . Les sommets de ce cycle sont les éléments et 5 , donc . Les arêtes distinctes de ce cycle sont et . Les arêtes et sont les mêmes.
Q 22. Montrer que le nombre de cycles de longueur dans passant par sommets distincts est inférieur ou égal à .
Q 23. En déduire que
On classe les cycles de longueur en trois sous-ensembles :
  • l'ensemble , constitué des cycles où au moins une arête n'apparait qu'une fois ;
  • l'ensemble , constitué des cycles où toutes les arêtes apparaissent exactement deux fois;
  • l'ensemble , constitué des cycles où toutes les arêtes apparaissent au moins deux fois et il en existe au moins une qui apparait au moins trois fois.
Q 24. Montrer que, si le cycle appartient à , alors
Q 25. Montrer que, pour tout cycle appartenant à .
Q 26. Que peut-on dire de si est impair ? En déduire que dans ce cas.
On suppose dans la suite que est pair et que est un cycle passant par sommets distincts. Autrement dit .
On parcourt les arêtes de dans l'ordre. À chaque arête de on associe une parenthèse ouvrante si cette arête apparait pour la première fois et une parenthèse fermante si elle apparait pour la deuxième fois. Par exemple, au cycle correspond , au cycle correspond ()() .
Q 27. Justifier que l'on obtient ainsi un mot bien parenthésé de longueur .
Q 28. Dénombrer les cycles qui correspondent à un mot bien parenthésé fixé.
Q 29. Déduire de ce qui précède que

III. C -

Q 30. En déduire que, pour tout polynôme ,
III.D - Soit .
Q 31. Montrer que, pour tout ,
Q 32. Montrer que
Q 33. Soient une fonction continue et bornée de dans et un polynôme de degré . Justifier qu'il existe une constante telle que
Q 34. En déduire que

III.E -

Q 35. Soit une fonction continue et bornée de dans . Montrer que

IV Loi du demi-cercle, cas général

On revient au cas général. On note 𝟙 la variable aléatoire indicatrice d'un événement .
Pour tout et pour tout , on pose
𝟙
Si , on pose
𝟙𝟙

IV.A -

Q 36. Soit une variable aléatoire discrète d'espérance finie. Montrer que
𝟙
Q 37. En déduire que
Q 38. Justifier que, pour assez grand, les variables sont bien définies et qu'elles sont alors bornées, centrées, de variance 1 et qu'elles sont mutuellement indépendantes pour .
Q 39. Montrer que
𝟙𝟙
Q 40. Montrer que
IV.B - Pour tout entier tel que , on note . Pour tout , on note les valeurs propres de rangées dans l'ordre décroissant.
On obtient ainsi des variables aléatoires réelles discrètes sur .
Soit une fonction -lipschitzienne.
Q 41. Montrer que
Q 42. On suppose de plus bornée. Montrer

IV.C -

Q 43. Montrer la loi du demi-cercle dans le cas général.
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