Si et sont des entiers naturels non nuls, on note l'espace vectoriel des matrices réelles à lignes et colonnes et l'espace vectoriel des matrices carrées . On définit de façon analogue et .
La transposée d'une matrice de est notée . On rappelle qu'une matrice de est dite symétrique si et qu'elle est dite antisymétrique si .
Le sous-espace vectoriel de constitué des matrices symétriques est noté . Le sous-espace vectoriel de constitué des matrices antisymétriques est noté .
Le groupe des matrices orthogonales à lignes et colonnes est noté .
On note la matrice identité dans .
Pour toute matrice carrée , on note et . Ainsi, est une matrice symétrique, est une matrice antisymétrique et . On dit que est la partie symétrique de et que est sa partie antisymétrique.
Pour , on note le spectre réel de , c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres réelles de . Une matrice symétrique réelle est dite positive si ses valeurs propres sont positives et elle est dite définie positive si ses valeurs propres sont strictement positives.
On note l'ensemble des matrices symétriques positives de et l'ensemble des matrices symétriques définies positives de .

L'objectif du problème est d'étudier certaines propriétés des matrices réelles carrées dont la partie symétrique est définie positive.
La première partie apporte quelques résultats préliminaires.
La deuxième partie, où on étudie les matrices -singulières, et la troisième partie, qui traite des matrices positivement stables, sont largement indépendantes.

On munit du produit scalaire canonique donné où tr désigne la trace. On note la norme euclidienne associée.
I.A.1) Montrer que et sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux dans et préciser leurs dimensions.
I.A.2) Soit . Montrer que pour toute matrice . Préciser à quelle condition sur , cette inégalité est une égalité.

On considère .
I.B.1) Si et , la matrice appartient à et on convient de l'identifier au nombre réel égal à son unique coefficient.
Avec cette convention, montrer que si et seulement si et que si et seulement si .
I.B.2) Pour toute valeur propre réelle de , montrer que minsp .

En déduire que si alors est inversible.
I.B.3) On suppose que .
a) Montrer qu'il existe une unique matrice de telle que .
b) Montrer qu'il existe une matrice de telle que .
c) En déduire que .
I.B.4) On suppose inversible et, conformément aux notations du problème, désigne la partie symétrique de l'inverse de . Montrer que .

On pourra considérer .

I.C.1) Soit . Montrer que les valeurs propres de sont dans .
I.C.2) Donner un exemple de matrice symétrique dans telle que et pour laquelle il n'existe pas de matrice vérifiant .
I.C.3) Soit .
a) On suppose que et que pour toute valeur propre de dans , l'espace propre de associé à est de dimension paire. Montrer qu'il existe telle que .
b) Réciproquement, montrer que s'il existe telle que , alors et pour toute valeur propre de dans , l'espace propre de associé à est de dimension paire.

Dans la suite de cette partie, on note qu'on munit du produit scalaire ( ) défini par

où, comme au I.B.1, on identifie la matrice à son unique coefficient.
Si , on note l'ensemble des matrices de de rang égal à .
Une matrice de est dite singulière si elle n'est pas inversible.
Si est un sous-espace vectoriel non réduit à de et si , on dit que est -singulière s'il existe non nul tel que . Dans le cas contraire, on dit que est -régulière.

II.A.1) Montrer qu'une matrice de est singulière si et seulement si elle est -singulière.

Dans cette sous-partie II.A, on suppose désormais . Soit un hyperplan de et soit un vecteur unitaire normal à .
II.A.2) Montrer que est -singulière si et seulement s'il existe un vecteur non nul de et un réel tels que .
II.A.3) En déduire que est -singulière si et seulement si la matrice est singulière.
Dans les questions suivantes, est une matrice inversible de .
II.A.4) Montrer qu'il existe une matrice avec , telle que : .
II.A.5) En déduire que .
II.A.6) Montrer que si , alors il existe un hyperplan de tel que est -singulière.
II.A.7) En déduire que si , alors il existe un hyperplan de tel que est -singulière.
II.A.8) On suppose que . Montrer que est -régulière pour tout hyperplan de .

On traitera l'exemple

II.B.1) Montrer que est inversible pour tout réel .
II.B.2) Calculer et montrer que est singulière pour .
II.B.3) Déterminer un hyperplan tel que soit -singulière.

On suppose ici . Soit un sous-espace vectoriel de de dimension . On considère ( ) une base de et on pose

II.C.1) Montrer que est -singulière si et seulement s'il existe un élément non nul de et deux réels , tels que .
II.C.2) En déduire que est -singulière si et seulement si la matrice

est singulière.
Dans les questions suivantes, est une matrice inversible de .
II.C.3) Montrer qu'il existe une matrice avec et telle que

II.C.4) En déduire que .
II.C.5) Montrer qu'il existe telle que si et seulement s'il existe telle que .
II.C.6) Montrer que si alors

II.C.7) En déduire que si , alors .
II.C.8) En conclure que si , alors est -régulière pour tout sous-espace vectoriel de dimension de .

On reprend l'exemple de la sous-partie II.B avec .
II.D.1) Comment choisir de façon que ?
II.D.2) Déterminer un sous-espace vectoriel de tel que et tel que soit -singulière.

Soit un sous-espace vectoriel de de dimension , où .
II.E.1) Montrer que est -singulière si pour une matrice que l'on définira. On suppose désormais que .
II.E.2) Montrer que si est non nul alors .
II.E.3) En déduire que les valeurs propres réelles de sont strictement positives.
II.E.4) En déduire que .
II.E.5) En déduire que est -régulière pour tout sous-espace vectoriel de .

On dit qu'une matrice de est positivement stable si toutes ses valeurs propres complexes ont une partie réelle strictement positive.

III.A.1) Soit . Montrer que est positivement stable si et seulement et . III.A.2)
a) La somme de deux matrices positivement stables de est-elle nécessairement positivement stable ?
b) Soit dans deux matrices positivement stables qui commutent. Montrer que est positivement stable.
III.A.3) Soit telle que soit définie positive.
a) Soit une matrice colonne de , où et appartiennent à . On pose et on identifie la matrice au nombre complexe égal à son unique coefficient.
Montrer que, si , alors , où désigne la partie réelle de .
b) Montrer que est positivement stable.
III.A.4) Donner un exemple de matrice positivement stable telle que n'est pas définie positive.
III.B - Dans cette sous-partie III.B, on établit un résultat sur l'exponentielle de matrice qui sera utile par la suite.
On rappelle que, pour toute matrice , l'exponentielle de est définie par

La fonction est définie et de classe sur et sa fonction dérivée est donnée par

de plus, pour tout réel .
III.B.1) Soit tel que . Soit une fonction à valeurs complexes de classe sur .

On suppose que la fonction est bornée sur . Montrer que est bornée sur .
On pourra considérer l'équation différentielle .
III.B.2) Soit une matrice triangulaire supérieure à coefficients complexes. On suppose que les coefficients diagonaux de sont des nombres complexes de partie réelle strictement positive. Soit des fonctions à valeurs complexes, définies et de classe sur et soit, pour tout ,

On suppose que, pour tout .
Montrer que les fonctions , où , sont bornées sur .
III.B.3) Soit une matrice positivement stable de valeurs propres complexes et soit un réel tel que .
Montrer que la fonction est bornée sur .
On pourra appliquer la question III.B. 2 à une matrice triangulaire semblable à .

Soit une matrice positivement stable. On considère l'endomorphisme de tel que

III.C.1) Montrer que est positivement stable, c'est-à-dire que sa matrice dans une base quelconque de est positivement stable.

a) Montrer qu'il existe une unique matrice telle que .
b) Montrer que est symétrique et que .
III.C.3) Pour tout réel , on pose et .
a) Montrer que, pour tout réel et que, si .
b) Montrer que, pour tout réel .
c) Qu'obtient-on en faisant tendre vers dans l'égalité précédente ? En déduire que la matrice de la question III.C. 2 est définie positive.