Centrale Mathématiques 1 MP 2015

L'objectif de ce problème est l'étude d'un certain opérateur intégral agissant sur les fonctions du plan, appelé transformation de Radon. On se propose d'établir une formule d'inversion et d'interpréter la transformation en termes de fonctions invariantes sur un groupe de matrices. Enfin on étudiera une application du procédé dans le domaine de l'imagerie médicale.

On note le corps des nombres réels et l'algèbre des matrices carrées de taille à coefficients dans . Le groupe multiplicatif des éléments inversibles de est noté et son élément neutre, .
Les éléments du plan vectoriel seront notés en colonne, pour tout réel on notera .
Le plan est muni de sa structure euclidienne canonique, donnée par le produit scalaire

L'ensemble des matrices des rotations vectorielles planes est appelé groupe spécial orthogonal et noté , son élément neutre, . On écrira .

Soit le sous-ensemble de des matrices de la forme où est un élément du groupe spécial orthogonal et est un vecteur quelconque du plan euclidien .
I.A - Isométries affines directes du plan euclidien
I.A.1) Déterminer un couple dans tel que l'on ait .
I.A.2) Soient et dans . Montrer que .
I.A.3) Montrer que les éléments de sont inversibles et expliciter l'inverse de .
I.A.4) Démontrer que est un sous-groupe de .
I.A.5) L'application est-elle surjective ? Est-elle injective ?

Pour et vecteur unitaire de , on note la droite affine du plan passant par le point ( ) et orthogonale à .
I.B.1) Représenter graphiquement et .
I.B.2) Déterminer une équation cartésienne de .
I.B.3) Montrer qu'une paramétrisation de est donnée par lorsque parcourt .
I.B.4) À quelle condition les droites et sont-elles confondues ?

On note l'ensemble des droites affines du plan et on considère l'application .
I.C.1) Représenter dans le cas et .
I.C.2) Déterminer .
I.C.3) Vérifier que ; en déduire que est surjective.
I.C.4) Soit l'ensemble des matrices de telles que .
a) Décrire les éléments de .
b) Montrer que est un sous-groupe de .
c) Montrer que pour tout de , et tout de , on a .

Pour tout entier , on note l'ensemble des fonctions de classe sur à valeurs dans telles que est bornée sur .
Si est une fonction continue sur on appelle transformée de Radon de la fonction définie, là où c'est possible, par

On considère, dans cette sous-partie seulement, la fonction définie par: .
II.A.1) Établir que est dans .
II.A.2) Montrer que est définie sur avec .
II.A.3) On pose . Démontrer que est intégrable sur et que

On pourra, pour calculer cette dernière intégrale, procéder au changement de variable .
II.A.4) La fonction est-elle dans ?

On suppose dans le reste de cette partie qu'il existe une fonction de vers , continue et intégrable sur , telle que: .
II.B.1) Pour , calculer .
II.B.2) Justifier la convergence, pour tout réel , de .
II.B.3) Démontrer que la transformée de Radon de est définie sur et que

II.B.4) En déduire que .

On considère dans cette partie une fonction appartenant à et on rappelle que

III. A - Vérifier que est définie sur .
III. B - Justifier que pour tout et tout on a .
III. - On pose encore .
III.C.1) Démontrer que est de classe sur .
III.C.2) Démontrer que la fonction est bornée sur .
III.C.3) Montrer que si on suppose de plus que et sont dans , alors est bornée sur .

Sous ces hypothèses, on peut démontrer en manipulant des intégrales doubles que la formule du II.B. 4 reste vraie. Nous admettrons donc dans la suite que

On souhaite retrouver la fonction à partir de sa transformée . À cet effet on pose pour ,

L'objectif est de démontrer la formule d'inversion de Radon : .

IV.A.1) Justifier l'existence de l'intégrale et montrer que sa valeur est .
IV.A.2) Soient et fixés tels que . Avec le changement de variables , établir que

Soit une fonction de classe sur . On suppose que est bornée et on pose .
IV.B.1) Montrer que est continue sur .
IV.B.2) Montrer qu'au voisinage de on a .
IV.B.3) Démontrer que si on suppose de plus que est bornée, alors la fonction est de classe sur .

On considère une fonction de dont les dérivées partielles et sont dans .
On pose, avec les notations de la partie III: .
IV.C.1) Justifier que est de classe sur et qu'au voisinage de on a .
IV.C.2) Démontrer : .
IV.C.3) On admet que l'on peut intervertir les deux intégrales ci dessus et donc que

En déduire que .

On considère une fonction dans telle que et sont dans .
IV.D.1) Établir la formule d'inversion de Radon pour cette fonction au point .
IV.D.2) Les hypothèses faites sur sont-elles nécessaires pour que la formule d'inversion de Radon soit vérifiée au point ?
IV.D.3) Proposer une démarche pour obtenir la formule d'inversion de Radon en tout couple ( ) à partir de la formule en .

La transformation de Radon peut être introduite dans le cadre plus général de l'analyse sur les groupes. Le but de cette partie est d'interpréter l'opérateur étudié plus haut en termes de fonctions invariantes sur .

Si est une fonction définie sur , on note la fonction , définie sur par où est la fonction introduite dans la question I.A.5.
V.A.1) Démontrer que pour tout dans et tel que on a .

On dit alors que est invariante par les rotations du plan, vues comme des éléments de .
V.A.2) On suppose à présent que vérifie les hypothèses permettant de définir sa transformée de Radon et on va démontrer que peut également être vue comme une fonction sur , sujette à un autre type d'invariance. Démontrer que si deux droites et coïncident, alors .
Ce résultat permet de faire l'abus de notation sans qu'il en résulte d'ambiguïté.
V.A.3) On définit à présent sur en composant par : on pose, pour tout . Démontrer que est -invariante, c'est-à-dire que pour tous et .

Une technique courante en imagerie médicale consiste à mesurer l'intensité d'un faisceau de rayons X avant et après la traversée d'une certaine zone, l'objectif étant de déterminer la densité des tissus dans la zone. L'objectif des dernières questions du problème est d'illustrer, dans un modèle de dimension deux, comment la formule d'inversion de Radon peut être utilisée dans ce cadre.
On modélise la densité des tissus, exprimée dans des unités convenables, par une fonction inconnue nulle en dehors de la zone à étudier et dont on suppose qu'elle vérifie des hypothèses assurant l'existence de

.
En supposant que chaque faisceau de rayons X incident est porté par une droite affine , et en notant son intensité mesurée de part et d'autre de la zone visée, un raisonnement heuristique donne

où le membre de droite désigne l'intégrale de sur la droite dans un sens à préciser.
V.B.1) Proposer une définition rigoureuse du membre de droite de (V.1) dans le cas où .
V.B.2) Expliquer comment la formule d'inversion de Radon permet en principe de connaître la densité des tissus dans la zone radiographiée.