Centrale Mathématiques 1 MP 2013

Dans tout le problème, est muni du produit scalaire euclidien canonique noté , associée.
Si est un ouvert non vide de et si , on note l'espace des fonctions de classe de dans .
Si , la différentielle de au point de est notée ; sa matrice relativement aux bases canoniques de et de est appelée matrice jacobienne de en et est notée Jac .
Si est dans , on dit que vérifie (1) si et seulement si

On note l'ensemble des fonctions polynomiales de degré de dans c'est-à-dire les applications de dans de la forme

Le but principal du problème est de montrer que les solutions de (1) sur appartiennent à .

Soient et dans vérifiant les équations, dites de Cauchy-Riemann,

On définit deux fonctions sur par

Pour , on note l'espace des fonctions de telles que

I.A.1) Exprimer et en fonction de et .
I.A.2) Pour tout , montrer et .
- Pour , soit la fonction de dans définie par

I.B.1) Pour tout , déterminer les réels tels que appartienne à .
I.B.2) Déterminer pour . On discutera séparément le cas .
- Pour , soient et les fonctions de dans définies par

I.C.1) Montrer que est de classe sur et vérifie

I.C.2) Montrer que appartient à et que est bornée au voisinage de 0 . En déduire l'existence de tel que

I.C.3) En énonçant précisément le théorème utilisé, établir

I. - Dans cette question, on suppose que les fonctions et sont bornées sur .
I.D.1) Si , montrer que la fonction est bornée sur .
I.D.2) Montrer que les fonctions et sont constantes.

Si est un intervalle de , on dit que vérifie (II.1) sur si et seulement si

II. - Déterminer les fonctions de vérifiant (1) sur .
II. - En énonçant précisément le théorème utilisé, montrer, si est dans , l'existence d'un intervalle ouvert de contenant et d'une fonction telle que soit solution de (II.1) sur et vérifie .
II. - Soit un intervalle ouvert non vide de . Existe-t-il une fonction polynomiale solution de (II.1) sur ?
II.D - Soient un intervalle ouvert non vide de dans et la fonction définie par

II.D.1) Montrer que est un ouvert non vide.
II.D.2) Montrer que est dans et que l'on a équivalence entre
i. vérifie (1) sur ,
ii. vérifie (II.1) sur .
II.D.3) Montrer que est la restriction à d'une fonction de si et seulement si est affine.
II.E - Soient un ouvert non vide de dans vérifiant (1) sur l'image de par la translation de vecteur et la fonction définie sur par

Montrer que vérifie (1) sur .
II. - Si est dans , montrer qu'il existe un ouvert de contenant ( ) tel que l'ensemble des fonctions de vérifiant (1) sur et ne coïncidant sur avec aucun élément de soit infini.

III. - Rappeler la définition d'un -difféomorphisme de sur et le théorème caractérisant un tel difféomorphisme parmi les applications de classe de dans .

Dans la suite de cette partie, on considère et . On suppose que pour tout

Le but de cette partie est de montrer que est un -difféomorphisme.
III. B - Soient et dans .
III.B.1) Vérifier

III.B.2) Montrer

III. - Soient et l'application de dans définie par

III.C.1) Si et sont dans , calculer .
III.C.2) Montrer que quand .
III.C.3) En déduire que atteint un minimum global sur en un point .
III.C.4) Montrer que .
III.D - Montrer que réalise un -difféomorphisme de sur .

Soit dans vérifiant (1) sur .
Pour , soient et .
On suppose dans les questions IV.A et IV.B que pour tout .
IV.A - , montrer que (où désigne la matrice identité d'ordre 2) est symétrique positive. En déduire que est un -difféomorphisme de sur .

Dans la suite, soient, pour et de sorte que, pour tout et .
IV.B -
IV.B.1) Montrer qu'il existe deux fonctions et dans telles que

IV.B.2) Calculer et (que l'on abrégera en et ) en fonction de et (que l'on abrégera en et ).
IV.B.3) Montrer que et sont bornées sur .
IV.B.4) Montrer, en utilisant la première partie, que et sont constantes.
IV.B.5) En déduire que et sont constantes.
IV.C - Montrer que les seules fonctions de vérifiant (1) sur appartiennent à .