Centrale Mathématiques 1 MP 2012

On note :
le -espace vectoriel des fonctions continues de dans .
le sous-espace vectoriel de constitué des fonctions bornées appartenant à .
le sous-espace vectoriel de constitué des fonctions intégrables sur et appartenant à .
le sous-espace vectoriel de constitué des fonctions de carré intégrable sur et appartenant à .
Pour toute fonction de , on pose .
Pour toute fonction de , on pose .
Pour toute fonction de , on pose .
On admet que ces expressions définissent des normes sur les espaces en question.
Soit une fonction complexe d'une variable réelle. Par définition, le support de est l'adhérence de l'ensemble . On dit que est à support compact si son support est un compact de ; en d'autres termes, est à support compact si et seulement s'il existe un réel tel que soit nulle en dehors de .
Par définition, une approximation de l'unité est une suite de fonctions , continues par morceaux et intégrables sur , vérifiant les conditions suivantes :

Soit . Lorsque la fonction est intégrable sur , on pose

La fonction est appelée produit de convolution de par .

I.A.1) Dans chacun des deux cas suivants, montrer que est définie et bornée sur et donner une majoration de pouvant faire intervenir ou .
a) ;
b) .
I.A.2) Soient telles que soit défini pour tout réel . Montrer que .
I.A.3) Montrer que si et sont à support compact, alors est à support compact.
I.B - Produit de convolution de deux éléments de

Pour toute fonction de et tout réel , on définit la fonction en posant pour tout .
Dans cette sous-partie I.B, on suppose que et appartiennent à .
I.B.1) Montrer qu'une fonction est uniformément continue sur si et seulement si .
I.B.2) Pour tout réel , montrer que .
I.B.3) Pour tout réel , montrer que .
I.B.4) En déduire que est uniformément continue sur dans le cas où est à support compact.
I.B.5) Montrer que est uniformément continue sur dans le cas général.
I.C - Continuité, dérivabilité, séries de Fourier
I.C.1) On suppose que et .
a) Montrer que est continue.
b) Montrer que si est uniformément continue sur , alors est uniformément continue sur .
I.C.2) Soit un entier naturel non nul. On suppose que est de classe sur et que toutes ses fonctions dérivées, jusqu'à l'ordre , sont bornées sur .
Montrer que est de classe sur et préciser sa fonction dérivée d'ordre .
I.C.3) Dans cette question I.C.3, on suppose que est continue, -périodique et de classe par morceaux.
a) Énoncer sans démonstration le théorème sur les séries de Fourier applicable aux fonctions continues, périodiques et de classe par morceaux.
b) Montrer que est -périodique et est somme de sa série de Fourier. Expliciter les coefficients de Fourier de à l'aide des coefficients de Fourier de et d'intégrales faisant intervenir .
I.D - Approximation de l'unité

Soit et soit ( ) une suite de fonctions approximation de l'unité.
I.D.1) Montrer que la suite converge simplement vers sur .
I.D.2) Montrer que si est à support compact, alors la suite converge uniformément vers sur .
I.D.3) Pour tout entier naturel , on note la fonction définie sur par

et nulle en dehors de , le réel étant donné par la formule

a) Montrer que la suite de fonctions est une approximation de l'unité.
b) Montrer que si est une fonction continue à support inclus dans , alors est une fonction polynomiale sur et nulle en dehors de l'intervalle .
c) En déduire une démonstration du théorème de Weierstrass : toute fonction complexe continue sur un segment de est limite uniforme sur ce segment d'une suite de fonctions polynomiales.
I.D.4) Existe-t-il une fonction telle que pour toute fonction de , on ait ?

Pour toute fonction , on appelle transformée de Fourier de la fonction, notée , définie par

II.A - Pour toute fonction , montrer que appartient à .
II.B - Transformée de Fourier d'un produit de convolution

Soit .
II.B.1) On suppose que est bornée.
a) Montrer que est intégrable sur et déterminer en fonction de et .
b) Montrer que .

Montrer qu'il existe deux fonctions et dans telle que ne soit pas défini.

On définit, pour tout entier naturel non nul , la fonction par

II.C.1) Exprimer la transformée de Fourier à l'aide de la fonction définie par

II.C.2) Justifier que .

On admet que . On pose .
II.C.3) Montrer que la suite de fonctions est une approximation de l'unité.

Soit telle que . Pour tout réel et tout entier naturel non nul , on pose

II.D.1) Pour tout réel et tout entier naturel non nul , montrer que .
II.D.2) En déduire, pour tout réel :

Dans cette partie, on suppose que . On s'intéresse à la codimension dans du sous-espace vectoriel

On note l'espace vectoriel engendré par les fonctions :

où, comme au I.B, on note la fonction .
III. A - À toute fonction de , on associe la forme linéaire sur définie par

Soit une famille d'éléments de .
III.A.1) Montrer que la famille ( ) est libre si et seulement si la famille ( ) est libre.
III.A.2) Soit un espace vectoriel de dimension infinie et une famille de formes linéaires sur . On note

Montrer que la codimension de dans est égale au rang de la famille dans l'espace dual (on commencera par le cas où ce rang est fini).
III.A.3) Montrer que la codimension de dans est égale à la dimension de .
III.A.4)
a) Soit et soit la fonction définie par pour tout . Déterminer la codimension de dans .
b) Soit un entier naturel. Montrer qu'il existe une fonction de telle que soit de codimension dans .

Soit . On dit que vérifie l'hypothèse A si est une fonction de classe sur , bornée et dont les fonctions dérivées à tout ordre sont bornées sur .
III.B.1) Montrer que, si est de codimension finie dans et si vérifie l'hypothèse A, alors est solution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants.
III.B.2) En déduire l'ensemble des fonctions vérifiant l'hypothèse A et telles que soit de codimension finie dans .

Soit . On suppose que est de codimension finie dans .
III.C.1) Montrer qu'il existe des réels et des fonctions d'une variable réelle telles que, pour tout réel ,

III.C.2) Soit un sous-espace de dimension finie, notée , de . Pour toute fonction et pour tout réel , on note .
a) Montrer qu'il existe des réels tels que ( ) soit une base de l'espace dual .
b) est une famille d'éléments de , montrer que est non nul si et seulement si est une base de .
III.C.3) En appliquant la question III.C.2) à , montrer que si est de classe alors les fonctions sont de classe .
III.C.4) Montrer que, pour tout entier naturel non nul, est de dimension finie (les fonctions sont celles de la question I.D.3).
III.C.5) Montrer que pour assez grand la dimension de est égale à celle de .
III.C.6) En déduire que les fonctions sont de classe .
III.C.7) Déterminer l'ensemble des fonctions telles que soit de codimension finie dans .