Suites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)Intégrales généralisées
Développement asymptotique du reste des séries de Riemann convergentes
L'objet de ce problème est de donner une approximation de la somme des séries de Riemann convergentes où est un réel strictement supérieur à 1. Pour cela, on étudie le reste .
Dans la première partie, on donne une première approximation du reste. Cette méthode se généralisant mal, on utilise dans la deuxième partie une formule de Taylor pour obtenir simplement un développement asymptotique du reste. L'inconvénient de cette méthode est qu'elle ne donne aucun contrôle de l'erreur.
Dans la troisième partie, on retrouve à partir de la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin le même développement asymptotique avec une expression de l'erreur assez satisfaisante. On a besoin dans cette partie d'une étude succincte des polynômes de Bernoulli.
Dans la dernière partie, on étudie de manière assez précise le contrôle de cette erreur, pour conclure que les formules sommatoires étudiées ne sont pas nécessairement convergentes.
Rappels et notations
On note la partie entière d'un réel .
Soit et deux suites réelles. On note si
I Étude préliminaire
I.A - Convergence des séries de Riemann
I.A.1) Soit une fonction réelle, définie continue et décroissante sur , où . Montrer, que pour tout entier , on a .
I.A.2) En déduire la nature de la série de Riemann selon la valeur de .
En cas de convergence, on pose .
I.A.3) Pour tout réel , montrer que .
I.B - Première étude asymptotique du reste
Dans la suite du problème, pour tout réel strictement supérieur à 1 et pour tout entier naturel non nul , on pose .
I.B.1) En utilisant l'encadrement de la question I.A.1, montrer que .
I.B.2) Soit la fonction définie sur par . En appliquant à la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre 2 , montrer que, pour tout
où est un réel vérifiant .
I.B.3) En déduire que
On pourrait répéter le procédé pour obtenir un développement asymptotique plus précis de , mais la partie suivante va donner une méthode plus rapide.
II Formule de Taylor et nombres de Bernoulli
II.A - Nombres de Bernoulli
II.A.1) Montrer qu'il existe une suite réelle ayant la propriété suivante : pour tout entier , pour tout intervalle non réduit à un point et pour toute fonction complexe de classe sur , la fonction définie sur par vérifie
où les sont des coefficients indépendants de que l'on ne cherchera pas à calculer.
II.A.2) Montrer que et que pour tout . En déduire que pour tout entier naturel . Déterminer et .
II.A.3) a) Pour tout tel que , justifier que la série est convergente.
On note sa somme : .
b) Pour tel que , calculer le produit . En déduire que, pour tout vérifiant , on a .
c) Montrer que pour tout entier . Calculer .
Les nombres sont appelés nombres de Bernoulli.
II.B - Formule de Taylor
Soit la fonction définie sur par , où est un réel strictement supérieur à 1 .
Dans cette question II.B, on fixe un entier naturel non nul et on note . Pour tout , on pose de sorte que .
II.B.1) En appliquant à la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre , montrer qu'il existe un réel tel que, pour tout .
II.B.2) En déduire le développement asymptotique du reste
On obtient ainsi une valeur approchée de , donnée par
II.B.3) Donner le développement asymptotique de correspondant au cas et .
III Polynômes de Bernoulli et formule sommatoire d'Euler-Maclaurin
On peut calculer, pour tandis que vaut (constante d'Apéry). La méthode de la partie II semble satisfaisante, mais ne fournit pas d'information précise sur le terme . C'est pourquoi on introduit dans cette partie les polynômes de Bernoulli et la formule sommatoire d'Euler-Maclaurin.
III.A - Polynômes de Bernoulli
On définit une suite de polynômes vérifiant les conditions suivantes
Les polynômes sont appelés polynômes de Bernoulli.
III.A.1) Propriétés élémentaires
a) Montrer que la suite est déterminée de façon unique par les conditions III. 1 ; préciser le degré de ; calculer et .
b) Montrer que pour tout et tout .
c) Pour tout entier , montrer que et que .
d) On pose provisoirement pour tout entier naturel . Montrer que, pour tout ,
puis que, si ,
e) En déduire que, pour tout , on a en fait .
III.A.2) Fonction génératrice
a) Montrer que la série converge pour tout réel et tout complexe vérifiant .
Sous ces conditions, on pose .
b) Soit tel que . Montrer que la fonction est dérivable sur et exprimer sa dérivée en fonction de . En déduire que, si et ,
c) Montrer que, si et , on a .
En déduire, pour tout entier naturel .
III.A.3) Variations des polynômes de Bernoulli
On établit ici une majoration des polynômes de Bernoulli sur .
a) Montrer que pour tout entier naturel , les variations des polynômes sur correspondent schématiquement aux quatre cas ci-dessous :
En d'autres termes, pour , on a :
Si , alors ; de plus, la fonction est strictement décroissante sur et strictement croissante sur .
Si , alors ; de plus, la fonction est strictement croissante sur et strictement décroissante sur .
Si , alors ; de plus, sur et sur .
Si , alors ; de plus, sur et sur .
b) Pour tout et tout , montrer que et .
III.B - Formule sommatoire d'Euler-Maclaurin
III.B.1) Soit une fonction complexe de classe sur .
a) Montrer que pour tout entier
b) En tenant compte des relations trouvées dans la partie précédente, montrer que pour tout entier naturel impair
III.B.2) Soit et soit une fonction réelle de classe sur . On suppose que et toutes ses dérivées sont de signe constant sur et tendent vers 0 en .
En appliquant, pour , le résultat précédent à , montrer
où on a posé pour tout .
Montrer que
III.B.3) Montrer que, dans l'expression de du II.B.2, le terme peut s'écrire sous forme d'une intégrale.
IV Compléments sur l'erreur
Dans cette partie, on fixe un réel et on considère la fonction définie sur par .
IV.A - Encadrement de l'erreur
IV.A.1) Soit une fonction continue par morceaux croissante sur .
En remarquant , montrer que
si , alors ; , alors .
IV.A.2) En reprenant les notations de II.B.2, montrer que pour tout entier naturel
et que
En déduire que l'erreur est majorée par .
IV.A.3) Dans cette question, on reprend le cas de II.B.3. Sachant que , retrouver que l'erreur est majorée par une expression de l'ordre de .
IV.B - Séries de Fourier
Pour tout entier naturel et tout réel , on pose .
IV.B.1) Montrer que est -périodique et continue par morceaux.
IV.B.2) À l'aide de la question III.B.1, déterminer les coefficients de Fourier de :
IV.B.3) Étudier la convergence de la série de Fourier de .
IV.B.4) Pour , en déduire que .
IV.C - Comportement de l'erreur
IV.C.1) Montrer que, pour tous entiers
IV.C.2) Que dire de l'approximation de par lorsque, étant fixé, tend vers ? Pour le calcul numérique de , comment doit-on choisir et ?
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