Centrale Mathématiques 1 MP 2010

Dans tout le problème l'ensemble des nombres complexes est considéré comme le plan affine euclidien muni de son repère orthonormé canonique ( ) (où ).

Dans tout le problème on notera et les triangles pleins définis par :

L'objectif du problème est la construction d'une application continue de dans dont l'image est le triangle plein et l'étude de quelques unes de ses propriétés.

I.A -
I.A.1) Établir que .
I.A.2) Représenter sur une même figure .
I.A.3)
a) Soit et . Prouver que l'image du complexe par la réflexion dont l'axe est la droite passant par et dirigée par vérifie la relation :

b) Établir une relation analogue à celle de la question précédente entre un complexe et son image par l'homothétie de centre et de rapport .
c) Démontrer que est la composée d'une réflexion dont on précisera l'axe et d'une homothétie de rapport strictement positif à préciser et dont le centre appartient à l'axe de la réflexion. Prouver une propriété analogue pour . Ces décompositions sont-elles uniques?
I.A.4) Que vaut l'image d'un triangle plein par et par ? Déterminer et .
I.B - (Diamètre d'un triangle plein)
I.B.1)
a) Démontrer que est un compact de pour sa topologie usuelle.
b) Démontrer que est convexe c'est à dire que, pour tout réel et tout couple ( ) d'éléments de appartient à .
c) Établir que, si est un compact convexe de muni de sa topologie usuelle.
d) Avec les mêmes notations prouver l'existence de :

I.B.2)
a) Démontrer que, si l'on fixe et

b) En déduire une expression simple de .
I.B.3) Soit un élément de . Pour chaque entier naturel non nul , on note .
Montrer que est réduit à un seul point appartenant à .

II - Dans la suite on note l'ensemble des applications continues de dans telles que et . Si , on note l'application de dans définie par :

II.1) Déterminer l'unique élément de qui soit affine.
II.2) Montrer que pour tout .
II.3) Soient et deux éléments de . Prouver que :

II.4) On définit maintenant une suite d'éléments de en choisissant affine comme ci-dessus et pour tout entier naturel .
a) Prouver que la suite converge uniformément sur vers une fonction .
b) Prouver que .
c) Prouver que, pour tout et interpréter géométriquement cette relation.

III.A.1) Soit
a) Montrer que la série de terme général converge et que sa somme appartient à .
b) En posant pour tout entier naturel , prouver la relation :

pour tout entier naturel non nul .
III.A.2) Inversement, soit .
a) Établir que, pour tout entier naturel non nul .
b) Montrer que, pour tout entier naturel non nul et tout réel :

c) Montrer que si, en outre, alors il existe tel que pour tout entier naturel .
d) Calculer et . Reconnaître et en déduire pour tout .
III.A.3)
a) Montrer que .
b) Montrer que .
III.A.4) Inversement, soit .
a) Montrer qu'on peut définir deux suites et de la manière suivante :

Prouver que, pour tout entier appartient .
b) Prouver que (on pourra exprimer en fonction de et des ).
c) Ecrire une fonction qui prend en argument un complexe (que l'on supposera dans ) et un réel et qui renvoie une valeur approchée à près d'un antécédent de .
III.A.5)
a) Prouver que n'est pas injective (on pourra utiliser la relation ).
b) Plus généralement montrer qu'il n'existe aucune bijection continue de sur (on pourra utiliser un argument de connexité par arcs).
III.A.6)
a) Pour , déterminer l'expression complexe de , la reconnaître, préciser son point fixe et l'image de . Faire un dessin.
b) Soient des éléments de . Prouver que possède un unique point fixe que l'on ne cherchera pas nécessairement à exprimer simplement.
c) Exhiber, à l'aide de l'application , un point fixe de .
d) Montrer que l'ensemble des complexes qui sont point fixe de la composée d'un nombre fini d'applications et est dense dans .
III.B - Dérivabilité de
III.B.1) Supposons que soit dérivable sur .

Soient et deux suites d'élements de [ 0,1 ], convergentes vers et telles que et pour tout .
Montrer que la suite de terme général converge vers .
III.B.2) Soit
a) Si , en choisissant :

prouver que n'est pas dérivable en .
b) Prouver que n'est pas dérivable en 1 .