Centrale Mathématiques 1 MP 2009

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Notations
On note l'espace vectoriel normé des applications continues du segment dans muni de la norme et l'espace vectoriel des applications linéaires continues de dans lui-même. Soient un élément de et un élément de ; l'image de par est notée . L'espace est muni de la norme .

Le problème se propose d'étudier quelques propriétés d'un opérateur appliquant dans lui-même qui est introduit dans la troisième partie. Pour ce faire, dans les deux premières parties, on met en place les outils nécessaires à cette étude.
Rappels
La deuxième fonction eulérienne notée est la fonction réelle définie sur l'intervalle par la formule suivante :

Cette fonction est indéfiniment dérivable sur l'intervalle et pour tout entier naturel et tout nombre réel ,

De plus, pour tout , cette fonction vérifie l'équation

Comme , il en découle que, pour tout entier naturel ,

I.1) Montrer qu'il existe un réel de l'intervalle tel que .
I.2) En déduire que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle .
I.3) Montrer que, pour tout nombre réel ,

Partie II - Comportement asymptotique de la somme d'une série entière au voisinage de la borne supérieure de son intervalle de convergence
II.A - Soit une application continue de l'intervalle dans , intégrable sur l'intervalle . On suppose de plus qu'il existe un nombre réel tel que la fonction soit décroissante sur l'intervalle .
II.A.1) Établir que la fonction est positive sur l'intervalle . (On pourra raisonner par l'absurde).
II.A.2) Soit un nombre réel strictement positif.
a) Prouver que pour suffisamment grand, .
b) Montrer que la série converge.
II.A.3) Prouver que:

(On pourra introduire un nombre réel suffisamment grand et écrire :

où désigne la partie entière du nombre réel ).
II.B - Pour tout nombre réel , on note la fonction définie sur l'intervalle par la formule .
II.B.1) Vérifier que la fonction satisfait aux conditions du II.A.

En déduire que

II.B.2) On considère la série entière .
a) Établir que le rayon de convergence de cette série entière est égal à 1 . On note la somme de cette série entière.
b) Prouver que, lorsque tend vers 1 avec , alors :

III.A.1) Établir que, pour tout couple ( ) de nombres réels strictement positifs, la fonction est intégrable sur l'intervalle .
Pour tout couple de nombres réels strictement positifs, on pose:

III.A.2) Prouver successivement pour tout couple ( ) de réels strictement positifs, les relations suivantes :
(i)
(ii)
(on pourra utiliser le changement de variable .)
(iii) .
III.B - On se propose d'établir pour tout réel et tout réel la formule suivante :

III.B.1) À l'aide de la relation (iii) montrer qu'il suffit de prouver l'assertion lorsque les réels et sont strictement supérieurs 2 .
III.B.2) Soient et deux nombres réels strictement supérieurs à 2 . Pour tout entier strictement positif, on pose:

a) Établir que la fonction est lipschitienne sur le segment .
On note un rapport de Lipschitz de cette fonction, c'est-à-dire tel que :

b) Prouver que, pour tout entier strictement positif :

c) On reprend les notations de la question (II.B.2).

Établir que, pour tout nombre réel de l'intervalle :

Déduire de la question 2.b) que, pour tout réel ,

En utilisant le comportement des fonctions au voisinage du point 1, conclure que:

III.C - Formule des compléments
III.C.1) Établir que la fonction est continue sur l'intervalle .
III.C.2) Soient et deux entiers tels que .
a) Vérifier que :

b) Pour tout entier compris entre 0 et , on note :

Établir que:

c) Après avoir vérifié que, pour tout nombre complexe de partie imaginaire non nulle, la fonction est une primitive sur de la fonction , prouver en utilisant judicieusement la relation (*) que :

En conclure que :

III.C.3) Déduire de (III.C.1) et (III.C.2) que :

Dans toute cette dernière partie, on suppose que est un nombre réel appartenant l'intervalle .
IV.A -
IV.A.1) Établir que pour toute fonction de et pour tout réel de l'intervalle , la fonction est intégrable sur l'intervalle .
IV.A.2) Pour tout élément de , on note la fonction définie sur le segment par les formules suivantes :

a) Vérifier que, pour tout élément de et tout réel du segment ,

b) Montrer que, pour tout élément de , la fonction est une fonction continue sur le segment .
c) Établir que l'application est un endomorphisme continu de l'espace vectoriel normé et que :

IV.B - On définit la suite par la condition initiale (application identité de et, pour tout , par la relation de récurrence suivante :

IV.B.1) On pose .
a) Pour tout entier , pour tout élément de et pour tout du segment établir l'inégalité suivante:

b) En déduire que, pour tout est un endomorphisme continu de et que :

IV.B.2) Pour tout nombre réel positif , montrer que :

On pourra utiliser le résultat de la question préliminaire I.3.
IV.B.3) Soient un nombre complexe non nul et un élément de .
a) Prouver que la série de fonctions converge uniformément sur le segment .
On note la somme de cette série de fonctions.
b) Prouver que :

c) En déduire que, pour tout nombre complexe non nul, l'opérateur est inversible et que:

où désigne l'application .
IV.C - Pour tout entier naturel , on note la fonction monômiale .
IV.C.1) Soit un entier naturel.
a) Calculer .
b) En déduire que :

IV.C.2) Ce résultat suggère d'introduire l'opérateur défini sur par la formule suivante :

Ainsi, avec cette notation, pour tout entier naturel ,

Établir que pour toute fonction polynômiale ,

IV.C.3) Formule d'inversion d'Abel.
a) Montrer que l'endomorphisme est un endomorphisme continu de tel que :

b) On pose . Montrer que:

c) Soit l'opérateur qui à toute application continûment dérivable de dans associe sa dérivée.
Montrer que est bien défini et que:

d) En déduire que l'opérateur est injectif.