Centrale Mathématiques 1 MP 2007

Les parties 2, 3 et 4 de ce problème sont totalement indépendantes, elles proposent trois applications du résultat démontré dans la partie préliminaire 1 .

Pour , on note l'ensemble des fonctions définies sur , à valeurs complexes, continues et -périodiques.
Pour , on appelle coefficients de Fourier complexes d'une fonction définie sur , continue par morceaux et -périodique, les nombres

On pourra utiliser la notation .

I.A - Question de cours

Soit une suite de fonctions uniformément convergente sur un intervalle de et soit .
On note et on suppose que pour tout .
Démontrer que est convergente, on note sa limite.
Montrer que .
I.B - Soit une fonction définie sur à valeurs complexes, continue par morceaux et -périodique et soit ; étudier (on distinguera les cas et .
I.C - Soit , de classe par morceaux et soit une fonction continue par morceaux et -périodique.
I.C.1) On suppose .

Montrer que admet une limite finie quand et que cette limite vaut .
I.C.2) On suppose . On pose irréductible.

Montrer que admet une limite quand et exprimer cette limite à l'aide des coefficients de Fourier complexes de et .
Lorsque les coefficients de Fourier complexes de et sont tous des réels positifs, montrer que .

II.A - Soit appartenant à , et soit .

On note la fonction . Comparer et .
II.B - Soient et deux fonctions continues, -périodiques sur .

On suppose que l'équation différentielle possède une solution sur , non nulle et -périodique avec .
Prouver que est solution de l'équation différentielle .

Soient et deux réels strictements positifs.
Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère ( ) orthonormé direct, on considère le cercle ( ) de centre et de rayon , le cercle ( ) de centre et de rayon et le point . On pose .
Pour , on considère le cercle , de rayon , dont le centre, noté , a pour affixe .

III.A.1) Montrer que ( ) et ( ) sont tangents et déterminer l'affixe de leur point de contact .
III.A.2) Soit le point de tel que . Déterminer l'affixe de .
On appelle épicycloïde l'arc paramétré décrit par lorsque décrit .
Remarque : l'épicycloïde est la courbe décrite par le point lié au cercle ( ) lorsque le cercle ( ) roule sans glisser sur le cercle ( ).

Dans cette section, .
III.B.1) Justifier l'existence d'une fonction périodique à valeurs strictement positives, de classe sur et d'une fonction à valeurs réelles, de classe sur , telles que .
Préciser une période de la fonction .
III.B.2) Étudier et représenter la courbe lorsque .
III.B.3) Montrer que l'épicycloïde est formée d'arcs isométriques (appelés arches) se rejoignant en des points de rebroussements. Déterminer les affixes de ces points.
III.B.4) Calculer la longueur d'une arche.

Lorsque est entier, calculer la longueur totale et l'aire de l'épicycloïde en fonction de la longueur et l'aire du cercle ( ) et du nombre .
III.C - Dans cette section .

On montre que l'épicycloïde est dense dans la couronne délimitée par le cercle ( ) et le cercle de même centre et de rayon .
III.C.1) Soit et , montrer que .

Indication : on pourra exprimer en fonction de et et utiliser la question 3 de la partie préliminaire.
Déterminer pour tout .
III.C.2) Soit un polynôme et un polynôme trigonométrique, déterminer .
En déduire , lorsque est une fonction définie et continue sur et une fonction continue -périodique.
III.C.3) Soient tels que et soit .
On considère la partie du plan constituée des points d'affixe tels que et .
En considérant des fonctions et bien choisies, montrer que .
III.C.4) En déduire que l'épicycloïde est dense dans la couronne .

Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère ( ) orthonormé direct, on considère un observateur placé à l'origine et, en tout point de coordonnées entières autre que l'origine, on place un arbre représenté par un carré « plein » de côté centré en ; on appelle forêt, notée , l'ensemble de ces carrés.
Le but de cette partie est de prouver l'existence d'un réel tel que, dans toute direction, l'observateur voit un arbre situé à une distance inférieure ou égale à .
IV.A -
IV.A.1) Soit la fonction créneau, paire et 1-périodique définie sur [0,1/2] par si sinon.
a) Montrer que, pour tout , la fonction est intégrable sur .

Soit définie sur par .
b) Montrer que est paire, 1-périodique, et que . En déduire que est continue et par morceaux. Vérifier que tous ses coefficients de Fourier complexes sont positifs. Calculer .
IV.A.2) Pour , montrer que la fonction

admet une limite finie strictement positive notée lorsque .
IV.A.3) Pour , montrer que la fonction

IV.A.4) En déduire l'existence d'un réel tel que, pour tout ,

Prouver qu'il existe tel que et conclure.

IV.B.1) Pour , on note le point d'affixe .

Soit .
Montrer que est un intervalle non vide, on note sa borne inférieure, montrer que .
L'intervalle est-il ouvert? fermé?
IV.B.2) On suppose que l'on dispose d'une fonction tri qui prend en argument une liste de couples de réels et retourne la liste triée dans l'ordre croissant des premiers éléments des couples.
Décrire un algorithme donnant un encadrement de par deux entiers consécutifs.

Que peut-on dire si les arbres sont représentés par des disques fermés?