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Centrale Mathématiques 1 MP 2006

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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries entières (et Fourier)Suites et séries de fonctions
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Centrale
Année
2006
Filière
MP
Matière
Maths
Centrale MPCentrale 2006MP MathsMaths 2006
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MATHÉMATIQUES I

Notations et objectifs du problème

  • On rappelle qu'une ellipse d'un plan affine euclidien, de demi-axes et , notée ( ) admet, dans un certain repère orthonormé, une représentation paramétrique de la forme :
( décrit un segment de longueur ).
  • désigne le -espace vectoriel des fonctions continues sur - périodiques, à valeurs complexes. On munit cet espace du produit scalaire défini par:
  • Pour et on rappelle les expressions des coefficients de Fourier exponentiels et trigonométriques de , utiles dans le problème :
  • Dans tout le problème désignera un nombre réel appartenant à l'intervalle ouvert et l'élément de défini par :
    On désignera aussi par l'ensemble des suites réelles vérifiant, pour tout entier naturel non nul , la relation :
et le sous-ensemble de constitué des suites ( ) telles que le rayon de convergence de la série entière de terme général soit au moins égal à 1 .
  • Dans tout le problème sera la suite réelle définie par:
(Les candidats qui le préfèrent pourront aussi noter le coefficient binomial).
  • La partie entière du réel est notée .

Filière MP

  • L'attention des candidats est attirée sur le fait que la notation ne sera prise en considération que lorsque est un nombre réel positif.
  • L'objectif du problème est l'étude de quelques problèmes asymptotiques relatifs à la longueur, notée , de l'ellipse ( ).

Partie I - Préliminaires

I.A - Préciser sur un dessin la signification géométrique du paramètre intervenant dans le paramétrage (1).
I.B - Prouver rapidement que et sont des - espaces vectoriels et préciser la dimension de .
I.C - Donner sans démonstration l'énoncé précis du théorème de Parseval relatif à un élément (les coefficients de Fourier intervenant dans la formule seront les coefficients exponentiels).
Si et sont deux éléments de , prouver, en justifiant d'abord la convergence absolue de la série, la formule :
I.D - Soit un entier naturel. Exprimer à l'aide de .
I.E - Soient et deux réels vérifiant . On pose .
Exprimer, en fonction de et de constantes, le réel .

Partie II - .Comportement asymptotique de la suite ( )

II.A - Déterminer le rayon de convergence de la série entière de terme général . On notera sa somme dans le disque ouvert complexe de centre 0 et de rayon .
II.B - Soit un réel appartenant à l'intervalle ouvert . Donner une relation entre et . En déduire une expression simple de la restriction de à l'intervalle ouvert .
II.C - On choisit maintenant un complexe tel que . Déterminer une expression très simple de .
II.D - Prouver, pour et , la relation : .
II.E - Soit un entier naturel. En utilisant la question I.C et la précédente, prouver l'égalité :
En déduire la limite de cette suite quand l'entier tend vers l'infini.
II.F - Prouver que, quand :
En quoi ce résultat corrobore-t-il votre cours sur les séries de Fourier?

Partie III - Approximation de

III.A - Déterminer une équation différentielle linéaire du premier ordre satisfaite par . En déduire que la suite ( ) appartient à .
III.B - Pour tout réel , on définit deux suites et par:
et les relations de récurrence, valables pour :
on définit également, pour , la matrice par:
Pour alléger la rédaction, les candidats pourront remplacer, chaque fois que cela leur paraîtra utile, les expressions , par .
Pour , déterminer une matrice , dont les coefficients dépendent de et , telle que pour toute suite appartenant à on ait :
Écrire, dans le langage de calcul formel de votre choix, des fonctions prenant en argument l'entier et retournant et seront considérés comme des variables globales. Montrer que, pour tout entier , on a: .
En déduire le produit matriciel indépendamment de
III.C - Soit une suite réelle telle qu'existent une suite tendant vers 0 , un réel , un réel et un entier vérifiant :
Montrer que .
III.D - Prouver que :
Que dire de la suite de terme général lorsque tend vers l'infini?
III.E - Soient et deux réels tels que . On pose . À l'aide des questions II.E et III.D, démontrer que la suite définie par :

Partie IV - Étude de et de

IV.A - Soit un élément de . Prouver l'égalité :
IV.B - Calculer puis . Donner un équivalent de .
IV.C - Préciser la dimension et une base de . Soit ( ) un élément de qui n'appartient pas à . Déterminer un équivalent simple de lorsque .

-••FIN •••

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