Centrale Mathématiques 1 MP 2005

On étudie certaines classes de fonctions appartenant à l'ensemble des fonctions bornées et continues par morceaux de dans : c'est un espace vectoriel sur . Il est muni de la norme uniforme définie par

Pour tout appartenant à , on note la fonction définie sur par la formule : .
On note la fonction définie par . Tous les sous-espaces vectoriels considérés seront des -espaces vectoriels. On notera la conjuguée complexe de , c'est-à-dire la fonction : .

Soit une fonction appartenant à . On appelle moyenne de , s'il existe, le nombre

On dira alors que la fonction est moyennable.

I.A.1) Montrer que est une forme linéaire sur , que l'ensemble des fonctions moyennables est un sous-espace vectoriel de , et que est une forme linéaire sur . On notera de façon équivalente ou cette moyenne.
I.A.2) Vérifier que et sont lipchitziennes pour .
I.B - Montrer que la moyenne est invariante par translation : si et on pose , alors est moyennable et .

I.C.1) Soit une fonction de de période . Montrer que pour tout . En déduire que est moyennable, et que est égale à la moyenne sur n'importe quel intervalle de longueur .

I.C.2) En particulier montrer que pour réel non nul, et 。
I.C.3) Montrer que si , alors est moyennable et .
I.C.4) Soit la fonction définie par . Vérifier que , calculer . Examiner le comportement de lorsque , et en déduire que n'est pas moyennable.
I.D - La fonction est dite de carré moyennable si admet une limite lorsque tend vers . Cette limite est appelée moyenne quadratique de :

On notera l'ensemble des fonctions de de carré moyennable.
I.D.1) Montrer que toute fonction qui tend vers 0 à l'infini est aussi de moyenne quadratique nulle.
I.D.2) Pour , donner une majoration de et en fonction de .
I.D.3) Montrer, à l'aide de et , que n'est pas un espace vectoriel.
I.E - On dira que deux fonctions, de sont comparables si existe

I.E.1) Si est un espace vectoriel inclus dans , montrer que deux fonctions sont comparables (développer et ). Il en résulte que sur est un «pseudo-produit scalaire» (il est linéaire à gauche, semi-linéaire à droite, positif, mais pas strictement). On a en particulier

I.E.2) On dira que deux fonctions , sont orthogonales si .

Que vaut alors ?
I.E.3) Écrire l'inégalité de Schwarz (on ne demande pas de la démontrer).
I.F - Soit un réel strictement positif. Montrer que l'ensemble des fonctions périodiques de est un espace vectoriel de fonctions de carré moyennable et comparables.
I.G - Soit

l'ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques).
Montrer que est stable par produit de fonctions, et que l'application définit un produit scalaire sur .

En particulier, pour , établir que .
I.H - Soit une suite qui converge uniformément vers .
I.H.1) Montrer l'existence de (utiliser I.A.2).
I.H.2) En déduire que et (pour , on choisira tel que et .
I.I - Soit une suite qui converge uniformément vers .
I.I.1) Montrer que .
I.I.2) Montrer que existe.
I.I.3) En suivant la méthode du I.H.2), en déduire que et .

On appelle l'ensemble des limites uniformes sur de suites de fonctions appartenant à .
II.A - Montrer les propriétés suivantes :
II.A.1) est un espace vectoriel inclus dans , et fermé pour .
II.A.2) Toutes les fonctions de sont comparables, et continues.
II.A.3) Si , alors .

II.A.4) et , la série de fonctions

II.A.5) est stable par produit des fonctions.
II.A.6) Soit , à valeurs réelles, et continue. Montrer que (le montrer d'abord lorsque est une fonction polynomiale à coefficients complexes).
II.B - Les coefficients de Fourier-Bohr de sont définis, pour une fréquence .
Si est une suite de convergeant uniformément vers , la réunion des fréquences présentes dans chacun des est un ensemble fini ou dénombrable que l'on énumère donc selon le cas ou .On pose

Montrer que pour tout réel existe et vaut . En déduire que :
si alors , et pour tout .
II.C - Si est fini, montrer que
. En déduire la formule de Parseval : .
II.D - On se propose d'établir la formule de Parseval dans le cas où est infini. On construit la suite définie par . Soit , on a donc suite strictement croissante vers (le fait que la suite existe est admis).
II.D.1) On pose
. Calculer et en déduire que .
II.D.2) Pour tout , montrer que est orthogonal au sous-espace vectoriel engendré par les où . En déduire que

II.D.3) Déduire alors de la convergence uniforme sur de vers que

En conclure que

Pour une fonction , la fonction de corrélation de est définie (si cela existe) par

où * est la conjugaison complexe.
On appellera fonction stationnaire une fonction pour laquelle existe.
III.A - Montrer qu'une fonction stationnaire appartient à .
III.B - Montrer que , et que .
III.C - Si est stationnaire, montrer qu'il en est de même de et que, pour tout appartenant à , on a .

III.D.1) Si appartient à , montrer que est stationnaire. On note ses fréquences et coefficients de Fourier-Bohr, et le polynôme trigonométrique défini par :

III.D.2) Pour tout , calculer .
III.D.3) Montrer que est la somme de la série de fonctions

normalement convergente sur et que appartient à (on majorera en fonction de ).
III.E - Soit une fonction 1 -périodique de .
III.E.1) Montrer qu'elle est stationnaire, et que est aussi 1-périodique.
III.E.2) On note

les coefficients de Fourier complexes de . Montrer que les coefficients de Fourier de sont .
III.F - Soit la partie entière de et sa partie fractionnaire. La fonction définie par où est un réel irrationnel, est une fonction 1 -périodique de , de coefficients de Fourier complexes .
III.F.1) Calculer les . Que vaut

III.F.2) Calculer pour et vérifier que est continue sur IR.
III.F.3) En déduire que . Calculer