Centrale Mathématiques 1 MP 2003

Dans tout le problème désigne un intervalle non majoré de .
Le but du problème est l'étude des solutions de l'équation différentielle

où est une application continue définie sur et à valeurs réelles ou complexes.
On verra que l'espace des solutions contient une solution ayant un comportement particulier en .
Les parties I et II portent sur deux exemples. La partie III met en place l'application dans un cadre général. Les Parties IV à VI envisagent diverses propriétés de la fonction et sont largement indépendantes.
Les symboles et désignent respectivement les corps des nombres réels et des nombres complexes.

I.A - Pour , montrer l'existence et donner la valeur des expressions suivantes:

I.B - On considère l'équation différentielle

Déterminer une fonction bornée et une fonction telles que la solution générale sur de cette équation différentielle puisse se mettre sous la forme

Donner sans démonstration le résultat analogue relatif à l'équation différentielle .
I.C - Soit le plan vectoriel engendré par les fonctions cosinus et sinus dans l'espace vectoriel des fonctions de dans , c'est-à-dire l'ensemble des fonctions de la forme

où et sont des nombres réels. Pour tout , on définit par la formule

I.C.1) Montrer que la transformation définit une application . La linéarité de étant considérée comme évidente, donner la matrice de dans la base de constituée des fonctions cosinus et sinus.
I.C.2) On munit de la norme

Déterminer une constante telle que, pour tout , on ait

Pour , on définit par récurrence la suite où et pour tout .
Étudier l'existence de la limite de cette suite relativement à la norme définie sur et déterminer la valeur de cette limite.

On donne, pour , l'équation différentielle

II.A - Montrer qu'il existe sur l'intervalle une unique solution bornée quand tend vers l'infini et exprimer sous forme d'une intégrale.
Quelle expression donner à la solution générale , où , l'indexation étant telle que pour , on ait la solution bornée ? Étudier le comportement de lorsque tend vers 0 par valeurs positives.
On note la courbe représentative de la solution .
II.B - Pour tout point du demi-plan , on note la solution de l'équation vérifiant et sa courbe représentative.
II.B.1) Déterminer l'ensemble des points tels que . Même question pour l'ensemble des tels que . Donner sans démonstration une interprétation géométrique pour chacun des ensembles et .
II.B.2) Quelle est la place de la courbe représentative de la solution par rapport aux courbes et ?
(on pourra faire des intégrations par parties sur ).
II.B.3) Tracer sans explication sur un même dessin des ébauches des courbes , où et sont des réels respectivement négatif et positif.

On suppose maintenant que est un intervalle ouvert de la forme pouvant être égal à .
Dans le -espace vectoriel des fonctions continues sur à valeurs complexes, on considère le sous-ensemble

Autrement dit, est l'ensemble des fonctions négligeables en devant une certaine fonction puissance ( dépendant de ).
III.A - Montrer que est un sous-espace vectoriel de Étant donné et , on considère l'équation différentielle

III.B - Montrer que admet une unique solution définie par la formule

On définit l'application par ; elle est évidemment linéaire.
III. - Soit la composée fois de avec elle-même. Pour , on pose (avec ). Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) la suite ( ) converge uniformément sur tout compact de ,
(ii) la suite converge uniformément vers une constante sur tout compact de ,
(iii) la série converge uniformément sur tout compact de .
III.D - Montrer que

(on pourra raisonner par récurrence en écrivant et intégrer par parties).
III.E - L'application linéaire

est-elle injective? Montrer que l'image de est l'ensemble des applications telles que et .

Soit l'espace des fonctions continues bornées sur à valeurs complexes. étant un sous espace vectoriel de (défini au III), l'application est définie sur .
IV.A - Montrer que pour tout , l'équation différentielle a une unique solution bornée .
IV.B - On munit de la norme

L'application est-elle continue pour cette norme?
IV.C - Soit (resp. ) le sous-espace de des fonctions ayant une limite (resp. une limite nulle) en le sous-espace des fonctions constantes. Montrer que et sont des sous-espaces supplémentaires de .
Montrer que ces sous-espaces sont stables par .
IV.D - Montrer, à l'aide du III.D, que pour tout , la suite ( ) converge uniformément sur tout intervalle vers une constante que l'on précisera (couper l'intervalle d'intégration en exprimant que a une limite en ).
IV.E - Montrer que l'application linéaire est une injection de dans le sous-espace des fonctions bornées de classe sur .
L'application est-elle dans l'image de ? Préciser l'image de .

Soit l'espace des fonctions continues -périodiques.
V.A - Montrer que pour tout , l'équation différentielle a une unique solution périodique .
Cette fonction est-elle somme de sa série de Fourier ?
V.B - Quel lien a-t-on entre les coefficients de Fourier complexes et ?
V.C - Soit le sous-espace dont la valeur moyenne

est nulle et le sous-espace des fonctions constantes. Montrer que et sont des sous-espaces supplémentaires de .
Montrer que pour tout , la suite ( ) converge uniformément sur vers une constante que l'on précisera.
V.D - Montrer que l'application linéaire est une bijection de sur le sous-espace des fonctions -périodiques de classe .
V.E - On considère sur et les normes et suivantes :

Les applications et sont-elles continues pour la norme ? Même question pour la norme .

Soit un entier naturel et le -espace vectoriel de dimension des fonctions polynomiales de dans à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à .
VI.A - Soit une famille de nombres réels distincts. Pour tout , on pose

Montrer que c'est une norme sur .
VI.B - Soit une suite de fonctions polynomiales de

Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) la suite ( ) converge simplement sur ,
(ii) la suite ( ) converge uniformément sur tout compact de ,
(iii) il existe nombres réels distincts tels que, pour tout indice , la suite converge.
(iv) chacune des suites numériques , pour , converge.
VI.C - Pour tout , montrer que l'équation différentielle a une unique solution dans .
On note encore est considéré ici comme un endomorphisme de .
VI.D - Pour fonction polynomiale de degré , on forme la suite de fonctions polynomiales ( ) où . Cette suite vérifie-t-elle les conditions équivalentes de VI.B ?