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Centrale Mathématiques 1 MP 2002

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Suites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Topologie/EVNPolynômes et fractions
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Centrale
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2002
Filière
MP
Matière
Maths
Centrale MPCentrale 2002MP MathsMaths 2002
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Mathématiques I

Préliminaires et objectif du problème

On rappelle que et que .
Pour tout entier on note le sous-espace vectoriel de constitué par les polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à .
On munit l'algèbre des fonctions à valeurs complexes continues sur le segment de la norme de la convergence uniforme, définie par
Tout polynôme de est identifié à la fonction polynomiale qu'il induit sur .
Soit une suite de réels positifs.
  • On dit que cette suite est à décroissance rapide si pour tout entier elle est dominée par la suite , c'est-à-dire si
On note l'ensemble des fonctions pour lesquelles il existe une suite de polynômes telle que:
  • la suite est à décroissance rapide.
  • On dit que cette suite est à décroissance exponentielle si, pour un certain réel , elle est dominée par la suite géométrique , c'est-à-dire si
On note l'ensemble des fonctions pour lesquelles il existe une suite de polynômes telle que:
  • la suite est à décroissance exponentielle.

Filière MP

Remarque : Une suite à décroissance rapide (resp. exponentielle) converge vers 0 mais n'est pas forcément décroissante.
L'objectif du problème est de montrer, en utilisant les propriétés des polynômes de Tchebychev établies en Partie I, que les fonctions de l'ensemble sont exactement les fonctions de classe sur et de relier les fonctions de l'ensemble aux fonctions dont la série de Taylor
en tout point converge vers sur un voisinage de .
a) Vérifier que si une suite est à décroissance exponentielle alors elle est à décroissance rapide.
b) Vérifier que les ensembles et sont des sous-espaces vectoriels de . Quelle relation d'inclusion existe-t-il entre ces deux sous-espaces ?
c)
i) Soit une fonction de classe sur dont toutes les dérivées sont bornées sur par un même réel . Montrer que .
ii) Donner des exemples de fonctions de .

Partie I - Polynômes de Tchebychev

Pour tout entier on pose : .

I.A - Premières propriétés des

I.A.1) Montrer que est une fonction polynomiale à coefficients entiers. Le polynôme associé est encore noté et s'appelle le -ième polynôme de Tchebychev.
I.A.2) Expliciter et .
I.A.3) Montrer que pour tout .
I.A.4) En déduire la parité, le degré et le coefficient dominant de .
I.A.5) Écrire un algorithme pour calculer .
On pourra employer le langage de programmation associé au logiciel de calcul formel utilisé ou un langage naturel non ambigu.
I.A.6) Montrer que, pour tout , on a : .

I.B - Calcul de normes

I.B.1) Calculer .
I.B.2) Montrer que .
I.B.3) En déduire que .
I.C - Encadrement de sur
I.C.1) Montrer que
I.C.2) Soit un réel .
a) Montrer qu'il existe , tel que .
b) En déduire que .

I.D - Équation différentielle vérifiée sur IR par

I.D.1) En dérivant l'égalité valable pour tout réel , trouver une équation différentielle linéaire homogène du second ordre vérifiée sur IR par .
I.D.2) Soit . Déduire de la question I.D. 1 que
Montrer que .

Partie II - Application des polynômes de Tchebychev à la majoration des polynômes et de leurs dérivées

On introduit la subdivision du segment [ ] définie par :
Par ailleurs, pour tout on appelle l'ensemble des entiers naturels autres que qui sont inférieurs ou égaux à .
Enfin, pour tout on note
le -ème polynôme élémentaire de Lagrange associé à la subdivision .

II.A - Majoration d'un polynôme sur

II.A.1) Résoudre sur l'équation et calculer pour , pour puis pour .
II.A.2) Montrer que
II.A.3) On suppose que . Montrer que
II.A.4) Soit un polynôme appartenant à . Montrer que

II.B - Majoration des dérivées successives d'un polynôme sur [ [

II.B.1) On suppose que . Montrer que :
II.B.2) Soit un polynôme appartenant à . Montrer que :
II.C - Majoration des dérivées successives d'un polynôme sur
Soit . On considère un entier .
II.C.1) On pose
Montrer que :
II.C.2) En déduire que .
II.C.3) Montrer que :
et que, si , on a la majoration plus fine .

Partie III - Détermination de l'ensemble

On note l'algèbre des fonctions -périodiques et continues sur , à valeurs complexes. On munit de deux normes, la norme quadratique définie pour , par
et la norme de la convergence uniforme définie par
Pour tout entier on pose . On rappelle que la famille est une famille orthonormale de l'espace préhilbertien ( ) et que, pour tout , le -ième coefficient de Fourier d'une fonction est le complexe
Pour tout entier on note le sous-espace vectoriel de engendré par les fonctions où :
Soit . Pour tout entier , on note
èôé

III.A - Propriétés liées aux normes et

III.A.1) On suppose que la série
Montrer que la suite converge uniformément sur vers .
III.A.2) Soit muni de la norme quadratique . On rappelle que est la projection orthogonale de sur . En déduire que :
III.A.3) On suppose que la fonction est de classe sur , avec . Montrer que :

III.B - Étude d'une application linéaire

On rappelle que est muni de la norme . On note l'application linéaire qui à toute fonction de , associe la fonction de définie par .
Montrer que est injective et calculer la norme subordonnée de lorsque l'on munit de la norme puis la norme subordonnée de lorsque l'on munit de la norme .

III.C - Propriétés liées aux coefficients de Fourier d'une fonction

Dans cette section on considère une fonction fixée dans .
III.C.1) Vérifier que .
III.C.2) Soit une suite de polynômes telle que pour tout on ait . Montrer que :
III.C.3) Pour tout entier on pose:
Montrer que :
III.C.4) On suppose que la série converge. Montrer que :

III.D - Développement en série de Tchebychev d'une fonction de

On suppose dans cette question que est une fonction de l'ensemble .
III.D.1) Montrer que la suite est à décroissance rapide.
III.D.2) Montrer que :
et que la série de fonctions converge normalement sur .
III.D.3) En déduire que est de classe sur et que :

III.E - Achèvement de la détermination de l'ensemble

On suppose dans cette question que est une fonction de classe sur .
III.E.1) Montrer que la suite est à décroissance rapide.
III.E.2) En déduire que .

Partie IV - Étude de l'ensemble

IV.A - Caractérisation des éléments de l'ensemble

IV.A.1) Soit une fonction de . Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
a) .
b) La suite est à décroissance exponentielle.

IV.B - Développement en série de Tchebychev d'une fonction de

On suppose dans cette question que est une fonction de l'ensemble . Il existe donc un réel tel que :
IV.B.1) Justifier le fait que :
que la série de fonctions converge normalement sur , que est de classe sur et que :
IV.B.2) En déduire que
IV.C - Développement en série de Taylor au voisinage de tout point d'une fonction de
On conserve les mêmes hypothèses qu'à la question précédente pour . Soit un point .
Montrer que la série de Taylor :
de au point converge vers sur le voisinage du point .
IV.D - Inclusion stricte entre et
Montrer que la fonction définie par
appartient à mais n'appartient pas à .

IV.E - Réciproque partielle concernant la détermination de l'ensemble

Soit une fonction à valeurs réelles ou complexes développable en série entière sur un intervalle ouvert , avec . Montrer que la restriction de au segment appartient à .

- FIN •••

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