Centrale Mathématiques 1 MP 2000

Si est une fonction de classe définie sur un ouvert et à valeurs réelles, on notera, pour of.. of fois, fonction définie sur le sousdomaine de défini par . On appelle -cycle de un ensemble de éléments tel que . On appelle multiplicateur du cycle la quantité

Un point est dit -périodique s'il est élément d'un -cycle ; un point 1 - périodique est encore appelé point fixe. Le multiplicateur d'un point périodique est alors le multiplicateur du cycle le contenant, qui n'est autre que le multiplicateur de comme point fixe de . Le cycle (ou le point -périodique) sera dit attractif, super attractif, indifférent ou répulsif suivant que la valeur absolue de son multiplicateur est strictement inférieure à 1 , égale à 0 , égale à 1 ou strictement supérieure à 1 .
On pourra être amené à utiliser un théorème de fonctions implicites dans .
On pourra alors admettre le résultat suivant :
Théorème : Soit un ouvert de une fonction de classe , et ( ) un point de , tels que

Alors il existe tels que si on pose , , l'ouvert est inclus dans et il existe une fonction de classe telle que :

Le thème général du problème est l'étude globale de la méthode de Newton appliquée aux polynômes.

Soit une fonction polynomiale non constante et . Si , on définit comme étant l'abscisse de l'intersection de la tangente en ( ) au graphe de avec l'axe des .
I.A - Montrer que :

I.B.1) Si , calculer .
I.B.2) Soit un nombre réel.

Montrer que si alors est un point fixe super attractif de . Si est un zéro d'ordre de montrer que peut se prolonger par continuité en a qui devient un point fixe attractif de de multiplicateur 1-1/p . Si , on dira que la suite de Newton de par est bien définie si l'on peut définir une suite ( ) telle que et :

Dans ce cas, cette suite ( ) sera la suite de Newton de par .
I.C - Montrer que si la suite de Newton de par est bien définie et converge vers alors .
I.D - Soit réciproquement un zéro de .
I.D.1) Montrer l'existence de tel que si alors la suite de Newton de par est bien définie et converge vers .
On appelle le plus grand intervalle contenant et formé de points dont la suite de Newton par converge vers .
I.D.2) Montrer que c'est un intervalle ouvert ; on l'appelle le bassin immédiat de .

I.E.1) On suppose que a au moins deux racines réelles. Soit le plus petit zéro de ; on suppose que , le plus petit zéro de vérifie et que ne s'annule pas sur . Montrer que le bassin immédiat de est égal à .
I.E.2) On suppose que le bassin immédiat du zéro de est de la forme .
Montrer successivement que , que , et enfin que . Ce 2 - cycle peut-il être attractif ?
I.F - Les hypothèses de la question I.E. 2 étant toujours vérifiées, montrer que le bassin immédiat de a contient un zéro de .
I.G - On suppose de degré possédant zéros distincts. Montrer que attire tout zéro de vers un zéro de .

Soit un polynôme de de degré (on note ). Dans cette partie la dérivation est à prendre au sens de la dérivation formelle des polynômes ou plus généralement des fractions rationnelles et est la fraction rationnelle

II.A - Montrer que si a zéros distincts alors vérifie

et possède points fixes super attractifs
(Un point fixe super attractif de est un point tel que , ).
II.B - Soit réciproquement une fraction rationnelle vérifiant (*). Montrer qu'il existe , de degré , possédant zéros distincts, tel que .
II.C - Deux fractions rationnelles , g sont dites semblables s'il existe une similitude telle que si désignent les domaines de définition de (c'est-à-dire le complémentaire dans de l'ensemble des pôles) alors et

Si et si montrer que est semblable à .
II.D - Déterminer pour : montrer que si est un polynôme de degré 2 alors est semblable à ou bien à .
II.E - Pour on définit

Montrer que si est un polynôme de degré 3 alors soit est semblable à soit il existe tel que est semblable à .
II.F - Quel est l'intérêt des résultats des deux questions précédentes pour l'étude des suites de Newton par les polynômes de degré ?

Dans cette partie on suppose , on garde les notations du II.E et on s'intéresse au comportement des suites de Newton des nombres réels par .

III.A.1) Montrer que a trois zéros (complexes) distincts si et seulement si .
III.A.2) On suppose : montrer que la suite de Newton de tout réel par est définie et converge vers un réel à préciser.

III.B.1) Montrer que si alors possède trois zéros réels distincts, soient :

Si de plus , montrer qu'il existe tel que soit semblable à .
III.B.2) On supposera désormais dans cette partie que . possède alors trois zéros réels distincts, soient :

III.B.3) On pose et on désigne par [ le bassin immédiat de . Montrer que la fonction est strictement décroissante sur et strictement croissante sur .
III.B.4) Montrer que la fonction est définie sur un intervalle où .
On désigne par le plus petit et le plus grand zéro de . Montrer que la fonction est strictement décroissante sur et strictement croissante sur .
III.B.5) Montrer que l'intervalle est inclus dans le bassin immédiat de .
III.B.6) Déduire de III.B. 4 et III.B. 5 que est le seul 2 - cycle de .
III.B.7) Montrer que et en déduire que .
III.B.8) On pose . Si est un réel, un développement limité à l'ordre 1 de la fonction

peut être obtenu grâce à un logiciel de calcul formel. On trouve :

En déduire, avec toutes les justifications nécessaires, un développement limité à l'ordre 1 de en 0 .

III.C.1) Montrer qu'il existe une et une seule valeur de telle que 0 soit 2 -périodique pour . Donner une valeur approchée à près par défaut de en indiquant l'algorithme utilisé.
III.C.2) Montrer qu'il existe tel que si alors admet un cycle attractif d'ordre 2 qui attire 0.